Diagonal likesidet trapes. Hva er den midterste linjen i trapes. Typer av trapeser. Trapeze - det ..

Trapes - et spesialtilfelle av en firkant, hvor ett par sider er parallelle. Begrepet "trapes" er avledet fra det greske ordet τράπεζα, som betyr "bord", "tabellen". I denne artikkelen vil vi se på typer av trapes og dens egenskaper. Også ser vi på hvordan man skal beregne de enkelte elementene i geometrisk figur. For eksempel, diagonalen av et likesidet trapes, den midtre linje, areal og andre. Materialet som inneholdes i elementær geometri populær stil, t. E. I en lett tilgjengelig måte.

oversikt

Først, la oss forstå hva en firkant. Dette tallet er et spesialtilfelle av et polygon med fire sider og fire hjørnene. To topp-punktene av en firkant, som ikke er tilstøtende, kalt motsatt. Det samme kan sies om de to ikke-tilstøtende sider. Hovedtypene av firkanter - et parallellogram, rektangel, rombe, kvadratisk, trapesformet og overarm.

Så tilbake til trapes. Som vi har sagt, dette tallet de to sidene er parallelle. De kalles baser. De to andre (ikke-parallell) - sidene. Materialene i de ulike undersøkelser og undersøkelser svært ofte kan du møte utfordringer knyttet til trapeser som løsningen krever ofte studentens kunnskap som ikke dekkes av programmet. Skole Studieretning geometri introduserer elever med vinkler egenskaper og diagonaler samt midtlinjen av en likebent trapes. Men annet enn det som er nevnt en geometrisk form har andre funksjoner. Men om dem senere ...

typer trapes

Det finnes mange typer av denne figuren. Men oftest vanlig å vurdere to av dem - likebent og rektangulære.

1. Rektangulær trapesformet - et tall i hvilken en av sidene vinkelrett på bunnen. Hun har to vinkler er alltid lik nitti grader.

2. likebent trapes - en geometrisk figur som har sider er like. Så, og vinklene på basen også er like.

Hovedprinsippene for fremgangsmåter for å studere egenskapene til et trapezoid

De grunnleggende prinsippene omfatter bruk av såkalte oppgave tilnærming. Faktisk er det ikke nødvendig å gå inn i en teoretisk kurs geometri av nye egenskapene til dette tallet. De kan være åpen eller i ferd med å formulere de forskjellige oppgaver (bedre system). Det er svært viktig at læreren vet hvilke oppgaver du trenger å sette foran elevene til enhver tid av læringsprosessen. Dessuten kan hver trapes egenskap representeres som en sentral oppgave i oppgavesystemet.

Det andre prinsippet er det såkalte spiral organisering av studien "bemerkelsesverdig" trapes egenskaper. Dette innebærer en tilbakevending til prosessen med å lære til de enkelte funksjonene i geometrisk figur. Dermed til elevene lettere å huske dem. For eksempel, tilhører de fire punktene. Det kan bevises som i studiet av likheten, og deretter ved bruk av vektorer. A like trekanter som grenser til sidene av figuren, er det mulig å påvise ved anvendelse av ikke bare egenskapene av trekanter med samme høyde som utføres til hvis sider som ligger på en rett linje, men også ved hjelp av formelen S = 1/2 (ab * sinα). Videre er det mulig å regne ut den Sinussetningen til innskrevet trapes eller rettvinklet trekant og trapes beskrevet i t. D.

Bruken av "utenom" har en geometrisk figur i innholdet i skolen selvfølgelig - et oppdrag deres teknologi undervisning. Konstant referanse til studere egenskapene til passering av den andre tillater elevene å lære trapes dypere og sikrer suksess for oppgaven. Så fortsetter vi til studiet av denne bemerkelsesverdige figuren.

Elementer og egenskapene til et likebenet trapes

Som vi har nevnt, i dette geometrisk figur sidene er like. Men det er kjent som en riktig trapes. Og hva er det så bemerkelsesverdig og hvorfor fikk sitt navn? De spesielle funksjonene i dette tallet forteller at hun har ikke bare like sider og vinkler på basen, men også diagonalt. I tillegg er summen av vinklene i et likebenet trapes er lik 360 grader. Men det er ikke alt! Bare rundt likebent kan beskrives av en sirkel av alle kjente trapeser. Dette skyldes det faktum at summen av motsatte vinkler i denne figur er 180 grader, og bare i denne situasjonen kan beskrives som en sirkel rundt firkanten. De følgende egenskaper for den geometriske figuren er at avstanden fra toppen av basen med projeksjonen av de motstående spisser på linjen som inneholder denne basen vil være lik midtlinjen.

Nå la oss se på hvordan du kan finne hjørnene av en likebent trapes. Vurdere en løsning på dette problemet, forutsatt at størrelsen av partene kjent figur.

beslutning

Det er vanlig å betegne Quadrangle bokstavene A, B, C, D, der B og BP - et fundament. I en likebent trapes sider er like. Vi antar at deres størrelse er lik X- og Y-dimensjoner, er baser og Z (mindre og større, henholdsvis). For beregning av vinkelen på behovet for å bruke i høyden H. Resultatet er en rettvinklet trekant ABN hvor AB - hypotenusen, og BN og AN - bena. Beregne størrelsen av benet AN: subtraheres fra den største flate bli minimal, og resultatet divideres med 2. skrive en formel: (ZY) / 2 = F Nå, for å beregne den spisse vinkelen i trekanten bruk funksjonen cos. Vi få følgende oppføring: cos (β) = X / F. Nå beregne vinkelen: β = Arcos (X / F). Videre vet det ene hjørnet, kan vi bestemme og andre, for å gjøre denne elementære regneoperasjon: 180 - β. Alle vinkler er definert.

Det er også en annen løsning på dette problemet. I begynnelsen er utelatt fra hjørnet i høyden av benet N. beregner verdien av BN. Vi vet at kvadratet av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene av de to andre sidene. Vi får: BN = √ (X2 F2). Deretter bruker vi trigonometriske funksjon tg. Resultatet er: β = arctg (BN / F). Den spisse vinkelen er funnet. Deretter definerer vi en stump vinkel som i den første metoden.

Egenskapen av diagonalene av en likebenet trapes

Først skriver vi de fire reglene. Hvis den diagonale inn i et likebenet trapes står normalt på hverandre, og deretter:

- høyden av figuren er lik summen av baser, dividert med to;

- dens høyde og den midtre linje er like;

- område av trapesens er lik kvadratet av høyden (midtlinje til en halv baser);

- kvadratet av diagonalen i et kvadrat er lik halvparten av summen av det dobbelte av firkantede basene eller midtlinjen (høyde).

Se nå på formelen som definerer den diagonale et likesidet trapes. Denne informasjonen kan deles inn i fire deler:

1. Forbindelse med formelen diagonal lengde gjennom dens side.

Vi antar at A er - et nedre underlag, B - Top, C - like sider, D - diagonal. I dette tilfellet kan lengden bestemmes som følger:

D = √ (C2 + A * B).

2. Forbindelse med formelen for den diagonale lengde av cosinus.

Vi antar at A er - et nedre underlag, B - Top, C - like sider, D - diagonal, α (ved den nedre basis) og β (den øvre basis) - trapesformede hjørner. Vi få følgende formel, ved hjelp av hvilken man kan beregne lengden av diagonalen:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formel diagonale lengde av en likebenet trapes.

Vi antar at A er - et nedre underlag, B - øvre, D - diagonal, M - midtlinjen H - høyde, P - område av den trapes, α og β - vinkelen mellom diagonaler. Bestemme lengden av de følgende formler:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

For dette tilfellet, likestilling: sinα = sinB.

4. Formel diagonal lengde gjennom sidene og høyde.

Vi antar at A er - et nedre underlag, B - Top, C - sider, D - diagonal, H - høyde, α - vinkel med den nedre basis.

Bestemme lengden av de følgende formler:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementer og egenskaper av et rektangulært trapes

La oss se på hva er interessert i denne geometrisk figur. Som vi har sagt, har vi en rektangulær trapes to rette vinkler.

Foruten den klassiske definisjonen, er det andre. For eksempel, et rektangulært trapes - et trapes der den ene side er vinkelrett på bunnen. Eller form har i sidevinkler. I denne type trapezer høyde er den siden som er vinkelrett på baser. Den midtre linje - et segment som forbinder midtpunktene av de to sidene. Egenskapen av elementet er at det er parallelt med baser og lik halvparten av summen.

Nå la oss vurdere de grunnleggende formler som definerer geometriske figurer. For å gjøre dette, antar vi at A og B - base; C (vinkelrett på basis) og D - sider av den rektangulære trapes, M - midtlinje, α - spiss vinkel, P - område.

1. Den side vinkelrett på baser, en figur lik høyden (C = N), og er lik lengden av den andre side A og sinus av vinkelen α ved en større base (C = A * sinα). Dessuten er det lik produktet av tangens av den spisse vinkel α og forskjellen i basene: C = (A-B) * tgα.

2. Side D (ikke vinkelrett på basis) som er lik kvotienten av differansen av A og B og cosinus (α) eller en spiss vinkel til den private høyde tallene H og sinus spiss vinkel: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Den siden som er vinkelrett på baser er lik kvadratroten av kvadratet av differansen D - den annen side - og en firkantet basis forskjeller:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side A rektangulært trapes er lik kvadratroten av en kvadratisk sum av en firkantet side og C-baser geometrisk form forskjell: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. Side C er lik kvotienten av kvadratet dobbelte av summen av basene: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Arealet definert av produktet M (senterlinjen for den rektangulære trapes) i høyde eller sideretning vinkelrett på basene: P = M * N = M * C.

7. Sett C er kvotienten av to ganger den firkantede formen av produktet sinus spiss vinkel og summen av basene: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formel side av et rektangulært trapes gjennom den diagonale, og vinkelen mellom dem;

- sinα = sinB;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinB,

hvor D1 og D2 - diagonalen i trapesformet; α og β - vinkelen mellom dem.

9. Formel side gjennom en vinkel på det nedre basis og andre: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Siden trapes med rette vinkler er et spesielt tilfelle av den trapes, de andre formler som bestemmer disse figurene, vil møte og rektangulære.

egenskaper incircle

Hvis tilstanden sies at i en rektangulær trapes innskrevet sirkel, så kan du bruke følgende egenskaper:

- mengden av basen er summen av sidene;

- avstand fra toppen av den rektangulære form til tangeringspunkter av den innskrevne sirkel er alltid lik;

- høyden av den trapes er lik til siden, vinkelrett på baser, og er lik diameteren til sirkelen ;

- sirkelen sentrum er det punktet som skjærer bisectors vinkler ;

- dersom den laterale side av kontaktpunktet er oppdelt i lengder N og M, da den radius i sirkelen er lik kvadratroten av produktet av disse segmentene;

- firkant som dannes ved kontaktpunktene, toppen av trapesformet og sentrum av den innskrevne sirkel - det er et kvadrat, hvis side er lik radien;

- område av figuren er et produkt av grunnen og produktet av den halve sum av baser på sin høyde.

lignende trapes

Dette emnet er svært nyttig for å studere egenskapene til geometriske figurer. For eksempel, den diagonale delt i fire triangler trapes, og er ved siden av bunnen av lignende, og til sidene - lik. Denne uttalelsen kan kalles en eiendom av trekanter, som er brutt trapes sine diagonaler. Den første delen av denne uttalelsen er bevist gjennom tegn på likheten mellom de to hjørnene. For å bevise den andre delen er bedre å bruke metoden beskrevet nedenfor.

beviset

Godta at tallet ABSD (AD og BC - basis av trapes) er brutt diagonaler HP og AC. Skjæringspunktet - O. Vi får fire trekanter: AOC - på nedre basen, BOS - øvre basis, ABO og SOD på sidene. Trekanter SOD og biofeedback har en felles høyde i så fall, hvis segmenter av BO, og OD er deres baser. Vi finner at forskjellen i deres områder (P) som er lik differansen av disse segmentene: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Følgelig PSOD = PBOS / K. Tilsvarende trekanter AOB og biofeedback har en felles høyde. Accepted for deres basis segmenter SB og OA. Vi får PBOS / PAOB = CO / OA = K og PAOB = PBOS / K. Av dette følger at PSOD = PAOB.

Å konsolidere de materielle elevene oppfordres til å finne en sammenheng mellom de områdene av trekanter som oppnås, noe som er ødelagt trapes sine diagonaler, bestemmer neste oppgave. Det er kjent at trekanter BOS og ADP-områdene er like, er det nødvendig å finne arealet av et trapes. Siden PSOD = PAOB, så PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Fra likheten av trekanter BOS og ANM følger at BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Følgelig PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Få PSOD = √ (* PBOS PAOD). Deretter PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

egenskaper likhet

Fortsetter å utvikle dette temaet, er det mulig å bevise, og andre interessante funksjoner i trapeser. Så, ved hjelp av likheten kan vise seg å være den egenskap segmentet, som passerer gjennom punktet som dannes ved skjæringspunktet mellom diagonalene av den geometriske figuren, parallelt med bakken. For dette har vi løse følgende problem: det er nødvendig å finne lengden RK segmentet som går gjennom punktet O. Fra likheten av trekanter ADP og SPU følger at AO / OS = AD / BS. Fra likheten av trekanter ADP og ASB følger at AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Dette innebærer at BS * PO = AD / (AD + BC). På lignende måte, fra likheten av trekanter MLC og ABR følger at OK * BP = BS / (BP + BS). Dette innebærer at OC og RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment som passerer gjennom skjæringspunktet for diagonalene parallelt med basisen og som forbinder de to sider, blir skjæringspunktet delt i to. Dens lengde - er det harmoniske gjennomsnittet av grunnen tall.

Vurder følgende karakteristikk av en trapes, som kalles tilhører fire poeng. skjæringspunktet mellom diagonalene (D), i krysset videreføring av sidene (E) så vel som i midten av baser (T og G) alltid ligger på samme linje. Det er lett å bevise likheten metoden. De resulterende trekantene er lignende BES og AED, og hver innbefatter en median ET og DLY deler toppvinkelen E i like deler. Derfor, punkt E, F og T er kolineære. På lignende måte, på samme linje er anordnet i form av T, U og G. Dette følger av likheten av trekanter BOS og ANM. Derfor konkluderer vi med at alle fire vilkår - E, T, O og F - vil ligge på en rett linje.

Med lignende trapeser, kan tilbys til studenter for å finne lengden av segmentet (LF), som deler figuren i to like. Dette kuttet må være parallell med baser. Ettersom det mottatte trapezoid ALFD LBSF og lignende, BS / LF = LF / AD. Dette innebærer at LF = √ (BS * BP). Vi konkluderer med at det segmentet som kan deles i to trapes som har en lengde som er lik den geometriske middelverdi av lengdene av basene figuren.

Vurder følgende likheten eiendom. Den er basert på det segmentet som deler trapesformet i to like store stykker. Godta at trapes ABSD segment er delt i to like EH. Fra toppen av B senkes høyden av det segmentet er delt i to deler EN - B1 og B2. Oppnå PABSD / 2 = (BS +) EH * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Ytterligere komponere systemet, karakterisert ved at den første ligning (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 og andre (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Det følger at B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) og BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Vi finner at lengden av dele trapes med to like, som tilsvarer den gjennomsnittlige lengder av den kvadratiske baser: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

Likhetene konklusjoner

Dermed har vi vist at:

1. Segmentet som forbinder midten av trapesens ved de laterale sider, parallelt med BP og BS og BS er den aritmetiske middel og BP (base lengde av et trapes).

2. linjen som passerer gjennom punktet O i skjæringspunktet mellom diagonalene parallelle AD og BC vil være lik de harmoniske gjennomsnittlige antallet BP og BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segmentet bryte i tilsvarende trapesformet har en lengde geometrisk middelbaser BS og BP.

4. Elementet som deler formen i to like store, en lengde mean square nummer BP og BS.

Å konsolidere materialet og bevissthet om sammenhengene mellom segmenter av student er nødvendig for å bygge dem for den spesifikke trapes. Han kan enkelt vise gjennomsnittslinjen, og det segment som passerer gjennom punktet - skjæringspunktet mellom diagonalene av figurene - parallelt med bakken. Men hvor blir den tredje og fjerde? Dette svaret vil føre studenten til oppdagelsen av det ukjente forholdet mellom gjennomsnittsverdiene.

Segment som forener midtpunktene av diagonalene av trapezoid

Vurdere følgende egenskap av figuren. Vi aksepterer at segmentet MN er parallell med baser og dele i to diagonalt. skjæringspunktet kalles W og S. Dette segmentet vil være lik halvparten av differansen grunn. La oss undersøke dette nærmere. MSH - gjennomsnittlig linjen i triangelet ABS, er det lik BS / 2. Minigap - den midterste linjen av trekanten DBA, er det lik AD / 2. Da finner vi at SHSCH = minigap-MSH derfor SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

tyngdepunkt

La oss se på hvordan du definerer elementet for en gitt geometrisk figur. For å gjøre dette, må du utvide basen i motsatte retninger. Hva betyr det? Det er nødvendig å legge basen til øvre bunn - til noen av partene, for eksempel til høyre. En nedre forlenge lengden av den øvre, venstre. Deretter kobler sin diagonal. Krysningspunktet av dette segmentet med senterlinjen av figuren er tyngdepunktet av trapeset.

Innskrevet og beskrevet trapes

La oss liste har slike tall:

1. Line kan innskrevet i en sirkel bare hvis det er likebent.

2. Rundt krets kan beskrives som et trapes, forutsatt at summen av lengdene av deres baser er summen av lengdene av sidene.

Konsekvenser av den innskrevne sirkel:

1. Høyden av trapesens beskrevne alltid er lik det dobbelte av radien.

2. Den side av trapesens beskrevet er sett fra sentrum av sirkelen i rett vinkel.

Den første konsekvensen er åpenbar, og for å bevise det andre er nødvendig for å fastslå at vinkelen SOD er direkte, det vil si, faktisk heller ikke være lett. Men kunnskapen om denne egenskapen gjør det mulig å bruke en rettvinklet trekant for å løse problemer.

Nå oppgir vi konsekvensene for isosceles trapes, som er innskrevet i en sirkel. Vi oppnå at høyden er den geometriske gjennomsnitts figuren baser: H = 2R = √ (BS * BP). Oppfylle de grunnleggende metode for å løse problemer for trapezoids (prinsippet om to høyder), må studenten løse følgende oppgave. Godta at BT - høyden på likebent tall ABSD. Du må finne strekninger av AT og AP. Bruk av formelen som er beskrevet ovenfor, vil den gjøre er ikke vanskelig.

Nå la oss forklare hvordan å bestemme sirkelens radius fra området beskrevet trapes. Utelatt fra toppen B høyde på basen BP. Siden sirkelen innskrevet i den trapes, BS + 2AB = BP eller AB = (BS + BP) / 2. Fra trekanten ABN finne sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Oppnå PABSD = (BP + BS) * R, følger det at R = PABSD / (AD + BC).

.

Alle formler midtlinjen trapes

Nå er det på tide å gå til det siste elementet i denne geometrisk figur. Vi vil forstå, hva er den midterste linjen i trapes (M):

1. Via baser: M = (A + B) / 2.

2. Etter høyden, base og hjørner:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Gjennom en høyde og diagonal vinkel med hverandre. For eksempel, D1 og D2 - diagonal av trapeset; α, β - vinkelen mellom dem;

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinB / 2H.

4. Innenfor området og høyde: M = R / N.