Komplekse tall. Verdi og evolusjon "imaginære verdier"

Tallene - de grunnleggende matematiske objekter som trengs for ulike beregninger og beregninger. Er settet av naturlige, heltall, rasjonelle og irrasjonell digitale verdier definerer et flertall av såkalte reelle tall. Men det er også ganske uvanlig kategori - "imaginære mengder" komplekse tall definert av René Descartes som Og en av de ledende matematikere det attende århundre Leonhard Euler foreslått å utpeke dem brevet jeg fra det franske ordet Imaginare (imaginære). Hva er de komplekse tall?

Såkalte uttrykk på formen a + bi, der a og b er reelle tall, og jeg er en digital indikator på spesiell verdi hvis plassen er -1. Operasjoner på komplekse tall er utført av de samme reglene som de ulike matematiske operasjoner på polynomer. Denne matematiske kategorien representerer ikke resultatene av målinger eller beregninger. For dette er ganske nok reelle tall. Hvorfor da trenger de?

Komplekse tall som en matematisk begrep, er nødvendig på grunn av det faktum at noen ligninger med reelle koeffisienter har løsninger innen "vanlige" tall. Derfor, for å utvide omfanget av løse ulikheter oppsto behovet for å innføre nye matematiske kategorier. Komplekse tall som har hovedsakelig teoretisk abstrakt det mulig å løse disse ligningene som ² x 1 = 0. Det skal bemerkes at, til tross for sin tilsynelatende formalitet denne kategorien tall aktivt og mye brukt, for eksempel for forskjellige praktiske løsninger problemer med elastisitet teori, elektroteknikk, aerodynamikk og hydromechanics, atomfysikk og andre vitenskapelige disipliner.

Modul og argument av et komplekst tall som brukes i konstruksjonen tidsplaner. Denne formen for skriving kalt trigonometriske. I tillegg har den geometriske tolkningen av disse tallene ytterligere utvidet omfanget av søknaden. Det ble mulig å bruke dem for en rekke databehandling kartet.

Matematikk har kommet en lang vei fra de enkle naturlige tall til komplekse integrerte systemer og deres funksjoner. På dette emnet kan skrive en egen tutorial. Her ser vi på bare noen av de evolusjonære aspekter av tallteori, gjør det klart alle de historiske og vitenskapelige bakgrunn begrunnelsen for denne matematiske kategorien.

Greske matematikeren betraktes som "true" bare naturlige tall, som kan brukes til å beregne noe. Allerede i det andre årtusen f.Kr.. e. de gamle egyptere og Babylonians i en rekke praktiske beregninger aktivt brukt fraksjoner. Den neste viktige milepæl i utviklingen av matematikken var forekomsten av negative tall i det gamle Kina to hundre år før vår tidsregning. De ble også brukt av de gamle greske matematikeren Diofant, som kjente reglene for enkle operasjoner på dem. Med hjelp av negative tall, ble det mulig å beskrive de ulike endringene i verdier, ikke bare i positiv plan.

I det syvende århundre e.Kr., ble det klart slått fast at kvadratroten av positive tall alltid ha to verdier - i tillegg til positive, også negative. Fra den sistnevnte for å ekstrahere med kvadratroten av de vanlige metoder for algebraiske den tid det ble antatt umulig: det er ingen slik verdi av x for x ² = ─ 9. I lang tid det var det samme. Det var bare i det sekstende tallet, når det var og er blitt aktivt studert tredjegradslikninger, behovet for å ekstrahere med kvadratroten av negative tall, som i formelen for løsning av disse uttrykkene inneholder ikke bare kuben, men også kvadratrøttene.

Denne formelen er robust, hvis ligningen har høyst en reell rot. I tilfelle av tilstedeværelsen i ligningen for tre reelle røtter for deres herding ble oppnådd med antallet negativ verdi. Det viser seg at bedringens vei går gjennom de tre røttene til det umulige, med utgangspunkt i matematikk av driftstiden.

For en forklaring av de resulterende paradoks italienske algebraists J. Cardano ble foreslått å innføre en ny kategori av uvanlig art av tallene, som kalles kompleks. Jeg lurer på hva han Cardano betraktet dem ubrukelig og gjorde alt for å unngå å bruke dem til den foreslåtte matematiske kategorier. Men allerede i 1572 en bok dukket opp en annen italiensk algebraist Bombelli, som var detaljerte regler for operasjoner på komplekse tall.

Gjennom det syttende århundre fortsatte diskusjonen av den matematiske natur data tall og mulighetene i sin geometriske tolkningen. Også gradvis utviklet og forbedret teknikk å jobbe med dem. Og på begynnelsen av det 17. og 18. århundre, ble den generelle teorien om komplekse tall opprettet. En enorm bidrag til utvikling og forbedring av teorien for funksjoner av komplekse variable ble innført russiske og sovjetiske forskere. N. I. Muskhelishvili engasjert i sin søknad til problemene med teorien om elastisitet, har Keldysh og Lavrentiev komplekse tall blitt brukt innen vann- og aerodynamikk, og Vladimir Bogolyubov - i kvantefeltteori.