Euklids femte postulat: ordlyden

Det antas at det var 10 000 år siden, den første menneskelige sivilisasjon. Sammenlignet med en alder av planeten vår, som ifølge forskerne, er ca 4.54 million år gammel, dette er bare et kort øyeblikk. For denne "øyeblikk" menneskeheten har gjort et stort sprang fra de primitive steinredskaper til interplanetariske romskip. Han ville ikke være mulig, dersom fra tid til annen på planeten ville ha blitt født et geni, går fremover vitenskap. Blant dem, selvfølgelig, refererer Euclid. Hans arbeider ble grunnlaget og en kraftig drivkraft for utviklingen av moderne matematikk.

Denne artikkelen handler om den femte postulat av Euclid og dens historie.

Hvordan gjorde geometrien

Siden tomter var gjenstand for husleie, deres størrelse og område for salg og levering må måles, blant annet ved beregninger. Videre er slike beregninger blitt nødvendig i konstruksjonen av store strukturer, så vel som å måle volumet av ulike elementer. Alt dette har blitt forutsetningene for 3-4 tusen år siden i Egypt og Babylon kunst oppmåling. Det har vært empirisk og er en samling av flere hundre eksempler på løse konkrete problemer, uten noen bevis.

Som en systematisk vitenskap geometri utviklet i antikkens Hellas. Så tidlig som i det tredje århundre f.Kr. var det en stor tilførsel av fakta og bevis metoder. Imidlertid oppsto det problemet tilstrekkelig omfattende til å sammenfatte det oppsamlede geometriske materiale. Hun prøvde å løse Hippokrates Fedii og andre gamle greske filosofer. Men logisk bekreftet vitenskapelig system det var bare ca 300 år f.Kr.. e. med utgivelsen av "Principia".

Hvem var Euclid

Antikkens Hellas ga verden mange av de største filosofer og forskere. En av disse er Euclid, som ble grunnleggeren av den aleksandrinske skole i matematikk. Om forskeren praktisk talt ingenting er kjent. Noen kilder indikerer at den unge fremtiden far til moderne geometri studert i den berømte skolen av Platon i Athen, og deretter tilbake til Alexandria, hvor han fortsatte å studere matematikk og optikk, samt komponere musikk. I sin hjemby grunnla han en skole, der sammen med elevene og skapte sitt berømte verk, som for mer enn to tusen år er grunnlaget for enhver lærebok i geometri og solid geometri.

"Elements" av Euclid

De viktigste og mest første systematiske arbeid med geometri består av 13 bind. De første fire og sjette bøker håndtere plangeometri, og 11., 12. og 13. - solid geometri. Som for de andre volumene, de er viet til aritmetikk, som er fra det synspunkt av geometriske postulater.

Rollen til det viktigste arbeidet for Euclid i den påfølgende utvikling av matematiske fag kan ikke overvurderes. Bevarte papyrus lister flere av den opprinnelige, samt bysantinske manuskripter.

I middelalderen ble "Elements" av Euclid studert primært av araberne, som anser dem til en av de største verkene i menneskelig tanke og forskeren Damaskus. Mye senere disse arbeidene interessert europeerne. Med bruk av utskrift vitenskap, inkludert euklidsk geometri ikke lenger være kjent bare for de utvalgte. Etter den første utgaven i 1533. "Elements" er tilgjengelig for alle som ønsker å forstå verden, og det er mer og mer for hvert år. Etterspørselen har skapt forsyning, så det antas at dette arbeidet er den nest mest leste blant monumentene i antikken etter Bibelen.

noen funksjoner

Den "Elements" beskriver metriske egenskaper av tre-dimensjonale, tom, ubegrenset og isotrop plass, som vanligvis kalles euklidske. Det anses å være en arena der det er fenomener av klassiske fysikken i Galileo og Newton.

Elementær geometrisk objekt i henhold til Euclid, er det punktet. Den andre viktige konsept - den uendelighet av plass, som er kjennetegnet ved de tre første postulater. Den fjerde gjelder likestilling rette vinkler. Med hensyn til Euclid femte postulat, da det bestemmer egenskapene og geometri i euklidsk plass.

Ifølge forskere, klassisk geometri far skapte en perfekt lærebok, studiet av hvilke utelukke eventuelle misforståelser av materialet på grunn av måten hans presentasjon. Spesielt, hvert volum av "elementer" begynner med definisjonen av begreper som oppstår for første gang. Spesielt fra de første sidene av den første boken leseren får vite at et punkt, linje, rett og så videre. Totalt har det en 23 definisjoner som er nødvendige for forståelsen av de viktigste bestemmelsene i materialet som presenteres i denne grunnleggende arbeid.

4 den første aksiom og postulere Euclid

Etter en forfatter av "Elements" tilbyr resultater som er akseptert uten bevis. Disse han deler inn aksiomer og postulater. Den første gruppen består av 11 utsagn at mannen kjente intuitivt. For eksempel, 8. aksiom at hele er større enn en del, og i henhold til de første to mengder, fra hverandre lik tre, lik hverandre.

Videre fører fem Euclid postulerer. De første fire lyde som følger:

• fra et punkt til et annet, kan du tegne en rett linje;
• fra noen sentrum av hver radius er mulig å beskrive en sirkel;
• begrenset linje kan strekke seg kontinuerlig i en rett linje;
• alle rette vinkler er like.

Euklids femte postulat

For over to årtusener, denne uttalelsen ble gjentatte ganger gjenstand for oppmerksomhet av matematikere. Men først får vi stifte bekjentskap med innholdet i Euklids femte postulat. Så, i den moderne formuleringen høres ut som om på et plan i skjæringspunktet mellom to rette ensidig tredje summen av de indre vinkler mindre enn 180 °, da disse linjer mens man fortsetter før eller senere møter på den side på hvilken denne mengde (mengde) på mindre enn 180 °.

Euklids femte postulat, som er ordlyden i ulike kilder er forskjellig fra begynnelsen forårsaket sporten og ønsker å oversette den inn i kategorien av teoremer ved å konstruere en lyd bevis. For øvrig er det ofte erstattes av et annet uttrykk, faktisk, oppfunnet forbannet og også kjent som aksiom Playfair. Det lyder som følger: på et plan gjennom et punkt som ikke tilhører en gitt linje kan ha en og bare en rett linje parallelt med dette.

språk

Som allerede nevnt, har mange forskere prøvd ulike uttrykke ideen om femte postulat av Euclid. Mange formuleringer er ganske åpenbart. For eksempel:

• konvergerende linjer krysser hverandre;
• det er minst ett rektangel, det vil si 4-kvadrat med fire rette vinkler;
• hver figur kan være proporsjonalt;
• det er en trekant med noen, vilkårlig stort område.

mangler

Euklidsk geometri var de største matematiske arbeider i antikken og frem til 19-tallet, det hersket uimotsagt i matematikk. Til tross for dette, noen av sine mangler har blitt bemerket selv av samtidige til forfatteren, og antikke greske vitenskapsmannen, som levde noe senere. Spesielt har det lagt til en ny Arkimedes aksiom, oppkalt etter ham. Det sier det er et helt tall n, som er nm [AB]> [cd] for alle segmentene AB og CD.

I tillegg har forskere forsøkt å minimalisere system av euklidske aksiomer og postulater. For å gjøre dette, tok de noen av dem ut fra resten.

Så det klarte å "bli kvitt" av den fjerde postulatet om likestilling rette vinkler. For ham ble det strenge bevis funnet, så han flyttet til kategorien av teoremer.

History 5 postulat i antikken og tidlig middelalder

Den klassiske formuleringen av denne uttalelsen Euklidsk geometri virker mye mindre opplagt enn de andre fire. Det er dette faktum hjemsøkt matematikere.

Den snubleblokk for femte euklidske postulat var definisjonen av parallellitet av de to linjer A og B, som angir at summen av de to ensidige vinkler som er dannet ved skjæringen mellom A og B, et tredje rett linje c, lik 180 grader.

Det første forsøket på å bevise det som et teorem ble gjort av de gamle greske geometer Poseidonios. Han foreslo å vurdere en direkte parallell til planet for mengden av alle punkter som er like langt fra originalen. Men selv dette ikke tillot Poseidonios finne bevis femte postulat.

Heller ikke til ingen nytte og forsøk på andre matematikere, inkludert middelalder, slik som den arabiske ibn Korra og Khayyam. Det eneste som er oppnådd - fremveksten av nye postulater, som kan bevises basert på ulike forutsetninger.

I 18-19-th århundrer

Klassisk geometri fortsatte å være interessert i matematikk og i det 18. århundre. Spesielt kan tilstrekkelig nær det bevis parallellaksiomet komme franske matematikeren A. Legendre. Han skrev en fremragende lærebok "Elements of geometri", som er ca 150 år var den viktigste av undervisning i matematikk i det russiske imperiet skoler. I det forskeren ga tre alternativer bevise Euklids parallelle aksiom, men alle viste seg å være feil.

Ved begynnelsen av det 19. århundre, ideen om å skape en ikke-euklidsk geometri. Den første beskrivelse av systemet, uavhengig av den femte postulat, førte en militær ingeniør J. Bolyai. Men han var redd for sin oppdagelse og ikke forfølge ideen, tro det galt. Suksess har ikke vært i stand til å oppnå og den store tyske matematikeren Gauss.

gjennombrudd

For mer enn 2000 år med Euklids femte postulat, bevis som prøvde å finne hundrevis av forskere, forble nummer én problemet i matematikk. Gjennombrudd gjort russiske matematikeren NI Lobachevsky. For ham verdens første klart å beskrive egenskapene til virkelige rommet, som beviser at Euklidsk geometri "fungerer" bare i spesielle tilfelle sitt system.

N. I. Lobachevsky først gikk ned samme vei som for sine kolleger. Prøver å bevise femte postulat, har han ikke lyktes. Deretter forskeren nektet euklidske representasjon, i henhold til hvilken vinklene i en trekant sum er lik 180 grader. Deretter prøvde han å bevise denne påstanden ved selvmotsigelse, og fikk en ny ordlyd for femte postulat. Nå innrømmer han at det finnes flere linjer parallelle til dette, og går gjennom et punkt som ligger utenfor denne linjen.

ny geometri

Det gir ingen mening å diskutere hvem som har gjort mer for matematikk. Rollen til Euclid og Lobachevsky sammenlign innflytelse på dannelsen og utviklingen av Newtons og Einsteins fysikk. Samtidig er det nye, absolutt geometri mulig å betrakte forestillingen om plass, bryte vekk fra den klassiske metoden "kan forstå bare det som kan måles." Men en slik tilnærming praktisert i naturfag i tusenvis av år.

Dessverre, ideer Lobachevskii geometri ble ikke akseptert og forstått av sine samtidige. Spesielt er hans elever ikke fortsatte arbeidet forskeren, og utvikling av ikke-euklidsk geometri ble forsinket i flere tiår.

Noen funksjoner i Lobachevskii teori

For å forstå den nye geometri, er det nødvendig å vurdere den kosmiske uendelighet. Faktisk er det vanskelig å forestille seg at det enorme universet er summen av lineære områder.

Lobachevsky geometri brukes til å beskrive krumme områder som er opprettet av de gravitasjonsfelt av galakser. Hun tillatt å avvike fra den metoden for oppmerksomheten til alle tallene til "om riktig" sylinder, sirkel, pyramide, eller en kombinasjon av disse figurene. For eksempel, i virkeligheten, vår planet - ingen ball, og geoide, det vil si, et tall som oppnås ved kontur den ytre konturen av litosfæren (hardt skall) av jorden ...

I det virkelige liv, er det også analoger av krummede områder i universet, noe som gjør det mulig å innføre mulighet for eksistensen av flere parallelle linjer av de passerende gjennom det samme punktet. Nærmere bestemt viser buet overflate av de tre typene som er allokert italiensk geometer Beltrami og kalt E. pseudosphere.

Videreutvikling av teorien om Lobachevsky

Fremragende russiske var ikke den eneste som ikke er ment absolutthet av euklidsk geometri. Spesielt matematikeren Riemann i 1854 lagt frem ideen om muligheten for at det finnes områder med null, positiv og negativ krumning. Dette betydde at du kan lage et uendelig antall ulike ikke-klassiske geometrier.

På Riemann posisjon, som har studert i hovedsak plass med positiv krumning, den femte postulat av Euclid høres ganske uventet. Ifølge hans ideer, gjennom et punkt utenfor en gitt linje kan ikke holde en linje parallelt med dette.

Ganske annerledes er tilfelle med null mellomrom, negativ og positiv krumning av Klein teori. Spesielt i det første tilfellet de er beskrevet av en parabolsk geometri, en spesiell sak som er den klassiske, den andre - adlyde Lobachevskian ideer, og den tredje - i samsvar med det som er beskrevet av Riemann.

Etter utgivelsen av Alberta Eynshteyna relativitetsteori, innlevering av slike rom utfylle data som tar hensyn til eksistensen av fire gjensidig avhengige og skiftende målinger - vekt, kraft, fart og tid.

i praksis

Hvis du går til den menneskelige oppfatningen av plass i bane rundt jorden for giganten størst mulig trekant av mulige avvik av summen av de indre vinkler på 180 grader klassisk make bare fire milliondeler av et sekund. Denne verdien er utover egenskapene til homo sapiens, så "jordiske" etterspørselen er euklidsk geometri.

Det gjenstår å vente inntil forholdene er skapt som tillater å oppnå eksperimentelle data for å bekrefte eller avkrefte teorien om N. Lobachevsky og Riemann gjennom galaksen.

Nå vet du at erklærer Euklids femte postulat og dens historie, noe som er veldig lærerikt, og gir oss mulighet til å spore utviklingen av det menneskelige sinn i løpet av de siste 2300 år.