Grunnleggende begrepene sannsynlighetsteori. Lovene i sannsynlighetsteori

Mange mennesker, når de står overfor begrepet "sannsynlighetsteori", redd, tenker at det er noe utålelig, veldig vanskelig. Men det er faktisk ikke så tragisk. I dag ser vi på de grunnleggende begrepene sannsynlighetsteori, lære å løse problemer ved konkrete eksempler.

vitenskap

Hva studerer en gren av matematikk som en "sannsynlighetsteori"? Den bemerker mønstre av tilfeldige hendelser og variabler. For første gang spørsmålet om Concerned Scientists i det attende århundre, da studerte gambling. Grunnleggende begrepene sannsynlighetsteori - event. Det er noe faktum som er oppgitt av erfaring eller observasjon. Men hva er erfaringen? En annen grunnleggende konseptet av teorien om sannsynlighet. Det betyr at denne delen av omstendighetene ikke er et uhell opprettet, og med en hensikt. Med hensyn til overvåking, det er forskeren selv ikke deltar i opplevelsen, men rett og slett et vitne til disse hendelsene, har det ingen effekt på hva som skjer.

events

Vi har lært at det grunnleggende teorien om sannsynlighet - hendelsen, men ikke anser klassifisering. Alle av dem er delt inn i følgende kategorier:

• Pålitelig.
• Umulig.
• Tilfeldig.

Uansett hva tilfelle er, som blir overvåket eller opprettet i løpet av eksperimentet, de er berørt av denne klassifiseringen. Vi tilbyr alle typer møtes separat.

bestemt hendelse

Dette er et faktum som å gjøre de nødvendige sett av aktiviteter. For bedre å forstå essensen, er det bedre å gi noen eksempler. Dette er underlagt lov og fysikk, kjemi, økonomi og høyere matematikk. sannsynlighetsteori innbefatter en så viktig begrep som en betydelig hendelse. Her er noen eksempler:

• Vi jobber og mottar godtgjørelse i form av lønn.
• Vel bestått eksamen, passerte en konkurranse om å motta godtgjørelse i form av opptak til en utdanningsinstitusjon.
• Vi har investert penger i banken, få dem tilbake hvis det er nødvendig.

Slike hendelser er sanne. Hvis vi har oppfylt alle de nødvendige betingelsene, sørg for å få det forventede resultatet.

umulig hendelse

Nå ser vi elementer av teorien om sannsynlighet. Vi tilbyr å gå til avklaringer i følgende typer hendelser - nemlig umulig. Å starte fastsette den viktigste regelen - sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Fra denne formuleringen kan ikke fravikes i å løse problemer. For å illustrere eksempler på slike hendelser:

• Vann er frosset ved en temperatur på pluss ti (det er umulig).
• Mangel på elektrisitet påvirker ikke produksjonen (så umulig som i det foregående eksempel).

Flere eksempler er gitt er ikke nødvendig, som beskrevet ovenfor svært tydelig gjenspeiler essensen av denne kategorien. Umulig hendelsen skjer aldri under forsøket under noen omstendigheter.

tilfeldige hendelser

Ved å studere elementer av sannsynlighetsteori, bør spesiell oppmerksomhet rettes mot den gitte type arrangement. Disse er de som studerer denne vitenskapen. Som et resultat av opplevelsen av noe kan skje eller ikke. I tillegg testen et ubegrenset antall ganger kan utføres. Kjente eksempler er:

• Kaste mynt - det er en opplevelse, eller test, tap av en ørn - denne hendelsen.
• Trekke ballen fra posen blindt - test, ble fanget røde ballen - denne hendelsen, og så videre.

Slike eksempler kan være et ubegrenset antall, men, generelt, skal forstås. For å oppsummere og systematisere kunnskap om hendelsene i en tabell. sannsynlighetsteori studier kun sistnevnte form for alle presentert.

navn	definisjon	eksempel
pålitelig	Hendelser med en absolutt garanti, på visse vilkår.	Opptak til skolen i god tid opptak eksamen.
umulig	Hendelser som aldri skjer under noen omstendigheter.	Det er snø ved en lufttemperatur over tretti grader Celsius.
tilfeldig	Arrangementet, som kan eller ikke i løpet av eksperimentet / test.	Hit eller en glipp når du kaster en basketball i ringen.

lover

Sannsynlighetsteori - vitenskapen som studerer muligheten for tap av enhver hendelse. I likhet med de andre, har det noen regler. Følgende lover sannsynlighetsteori:

• Konvergens av sekvenser av stokastiske variable.
• Loven om store tall.

Ved beregning av muligheten for en kompleks kan brukes komplekse enkle arrangementer for å oppnå resultater enklere og raskere måte. Det bør bemerkes at lovene i sannsynlighetsteori kan lett bevist ved hjelp av noen av teoremer. Vi foreslår å begynne å bli kjent med den første loven.

Konvergensen av sekvenser av stokastiske variable

Merk at konvergens av flere typer:

• Sekvensen av stokastiske variable konvergens i sannsynlighet.
• Nesten umulig.
• RMS konvergens.
• Konvergens i fordeling.

Så, på fly, er det svært vanskelig å forstå essensen. Her er definisjoner som vil bidra til å forstå emnet. Til å begynne med første blikk. Sekvensen er kalt konvergens i sannsynlighet, hvis følgende betingelse: n går mot uendelig, antallet søkt av sekvensen er større enn null og nær enheten.

Gå til neste visning, nesten helt sikkert. De sier at sekvens konvergerer nesten sikkert til en stokastisk variabel med n tendens til uendelig, og R, en tendens til en verdi nær enhet.

Den neste typen - en konvergens av RMS. Ved bruk av SC-lærings konvergens av vektor hjelp av tilfeldige prosesser reduseres til studiet av tilfeldige koordinat prosesser.

Var den siste typen, la oss se kort og for å gå direkte til løsning av problemer. Konvergens i fordeling har et annet navn - "svak", og deretter forklare hvorfor. Svak konvergens - er konvergensen av fordelingsfunksjonene på alle punkter i kontinuitet av grensefordelingsfunksjonen.

Sørg for å holde løftet: svak konvergens er forskjellig fra alle de ovennevnte at tilfeldig variabel ikke er definert på Sannsynlighetsrom. Dette er mulig fordi tilstanden er dannet utelukkende ved hjelp av fordelingsfunksjoner.

Loven om store tall

Stor hjelper i beviset av loven vil være teoremer av sannsynlighetsteori, for eksempel:

• Tsjebysjevs ulikhet.
• Tsjebysjov teorem.
• Generalisert Chebyshev teorem.
• Markov teoremet.

Hvis vi ser på alle disse teoremer, så problemet kan ta flere titalls ark. Vi har den viktigste oppgaven - er anvendelsen av sannsynlighetsteori i praksis. Vi tilbyr deg akkurat nå, og gjør det. Men før vi ser på aksiomer i sannsynlighetsteori, de er viktige partnere i å løse problemer.

aksiomer

Fra første har vi allerede sett, når vi snakker om det umulige hendelsen. La oss huske: sannsynligheten for en umulig hendelse er null. Eksempel vi ga en svært levende og minneverdig: snøen falt ved en lufttemperatur tretti grader Celsius.

Den andre er som følger: en viss hendelse inntreffer med sannsynlighet enhet. Nå vil vi vise hvordan det er skrevet med hjelp av matematiske språket: P (B) = 1.

Tredje: En tilfeldig hendelse kan skje eller ikke, men muligheten er alltid variere fra null til en. Jo nærmere det er til enhet, jo flere muligheter; hvis verdien er nær null, er sannsynligheten meget lav. Vi skriver dette i matematisk språk: 0

Vurdere den siste, fjerde aksiom, som er: summen av sannsynligheten for to hendelser er lik summen av sine sannsynligheter. Skriv matematiske termer: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiomer i sannsynlighetsteori - det er en enkel regel som ikke vil være vanskelig å huske. La oss prøve å løse noen problemer, basert på allerede ervervet kunnskap.

lodd

Først må du vurdere den enkleste eksempel - et lotteri. Tenk deg at du har kjøpt et lodd for lykke. Hva er sannsynligheten for at du vil vinne minst tjue rubler? Samlet opplag er involvert i tusen billetter, hvorav den ene har en pris på fem hundre rubler, ti hundre rubler, tjue og femti rubler og hundre - fem. Oppgaven med teorien om sannsynlighet basert på hvordan du finner en måte å flaks. Nå sammen vi analysere beslutnings over Oppgaver visning.

Hvis vi betegner ved en pris på fem hundre rubler, så sannsynligheten for A er lik 0,001. Hvordan får vi? Trenger bare antall "heldige" billetter delt på totalt antall (i dette tilfellet: 1/1000).

I - en gevinst på ett hundre rubler, vil sannsynligheten være lik 0,01. Nå har vi handlet på samme måte som den siste handling (10/1000)

C - Utbetalingen er tjue rubler. Finn sannsynligheten, er det lik 0,05.

Resten av billettene vi ikke er interessert, så deres premiepenger er mindre enn angitt i stand. Påfør en fjerde aksiom: Sannsynligheten for å vinne minst tjue rubler er P (A) + P (B) + P (C). Bokstaven P betegner sannsynligheten for opprinnelsen av hendelsen, har vi i de forrige trinnene allerede funnet dem. Det gjenstår bare å legge ned de nødvendige data, responsen vi får 0,061. Dette nummeret vil være svaret på spørsmålet om arbeidsplasser.

kortstokk

Problemer på sannsynlighetsteori, er det også mer komplekse, for eksempel ta neste jobb. Før du dekket av tretti-seks kort. Din oppgave - å trekke to kort på rad, uten å blande haug, første og andre kort må være ess, passer ikke saken.

Til å begynne, finn sannsynligheten for at det første kortet er et ess, dette dividere med fire og trettiseks. Sett den til side. Vi får et nytt kort er et ess med sannsynligheten for tre hundre og trettifemte. Sannsynligheten for det andre arrangementet er avhengig av hvilket kort vi trukket den første, vi er interessert i, det var et ess eller ikke. Av dette følger det at i tilfelle avhenger av hendelsen A.

Det neste trinnet finner vi sannsynligheten for samtidig gjennomføring, dvs. multiplisere A og B. Deres arbeid er som følger: sannsynligheten for en hendelse multiplisert med den betingede sannsynligheten for en annen, beregner vi, forutsatt at den første hendelsen har skjedd, det vil si, det første kortet vi dro et ess.

For å bli tatt er klar, gi betegnelsen slikt element som den betingede sannsynligheten for hendelsen. Den beregnes ved å anta at hendelsen A skjedde. Den beregnes på følgende måte: P (B / A).

Vi utvider løsningen på problemet vårt: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) eller P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Sannsynligheten er (4/36) _* ((3/35) / (4/36) beregnes ved avrunding til nærmeste hundredel Vi har: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. sannsynligheten for at vi trekke ut to ess i en rad er lik ni hundredeler. verdien er meget liten, følger det at sannsynligheten for en hendelse oppstår er ekstremt lav.

glemt rom

Vi tilbyr skimte noen flere alternativer jobber som studerer teorien om sannsynlighet. Eksempler på løsninger på noen av de du har sett i denne artikkelen, kan du prøve å løse følgende problem: Gutten glemte telefonnummeret for det siste sifferet i hans venn, men siden samtalen var veldig viktig, så begynte å plukke opp hver etter tur. Vi trenger å beregne sannsynligheten for at han ville kalle ikke mer enn tre ganger. den enkleste løsningen på problemet, hvis du kjenner reglene, lover og aksiomer i sannsynlighetsteori.

Før du ser en løsning, prøver å løse på egen hånd. Vi vet at sistnevnte tallet kan være fra null til ni, for totalt ti verdier. Sannsynlighet score kreves er 1/10.

Neste vi må vurdere alternativer for opprinnelsen av hendelsene, la oss anta at gutten gjettet riktig og vant retten, er sannsynligheten for slike hendelser lik 1/10. Det andre alternativet: den første samtalen slip, og andre mål. Vi beregner sannsynligheten for slike hendelser: 9/10 multiplisert med 1/9 til slutt får vi som 1/10. Det tredje alternativet: den første og andre samtalen viste seg å være feil adresse, bare den tredje gutten var der han ville. Beregne sannsynligheten for slike hendelser: 9/10 multiplisert med 8/9 og 1/8, får vi som følge av 1/10. Andre alternativer på betingelse av problemet vi ikke er interessert, dette er fortsatt for oss å legge ned disse resultatene, til slutt har vi en 3/10. Svar: Sannsynligheten for at en gutt ville kalle ikke mer enn tre ganger, tilsvarende 0,3.

Kort med tall

Før du ni kort, som hver er skrevet en rekke 1-9, tallene ikke gjentatt. De satt i en boks og bland godt. Du må beregne sannsynligheten for at

• rullet et partall;
• et to-sifret.

Før du går videre til beslutningen fastsette at m - er antall vellykkede tilfeller, og n - er det totale antall alternativer. La oss finne sannsynligheten for at tallet er enda. Er ikke vanskelig å beregne at partall på fire, og det er vår m, alle ni mulige alternativer, det vil si m = 9. Da sannsynligheten er lik 0,44 eller 4/9.

Vi anser det andre tilfellet, antall varianter av ni, og et vellykket resultat kan ikke være i det hele tatt, det er, er m null. Sannsynligheten for at den langstrakte kortet vil inneholde et to-sifret tall, som null.