Polyedre. Typer av polyedre og deres egenskaper

Polyhedra ikke bare okkupere en fremtredende plass i geometri, men forekommer også i det daglige livet til hver person. For ikke å nevne den kunstige relaterte elementer i en rekke av polygoner, fra og med fyrstikkeske og slutter arkitektoniske elementer i naturen også forekomme krystaller i form av en kube (salt), prismer (krystall), pyramide (schee), oktaedre (diamant), etc. . d.

Konseptet med en polyhedron, i geometri typer polyhedrons

Geometri vitenskap består stereometry delen som omhandler egenskaper og egenskapene til bulk former. Geometriske siden i beholderen er dannet i det tredimensjonale rom som er avgrenset av planene (fasetter) er kjent som "polytopene". Typer polyhedra har mer enn et dusin representanter for ulike antall og form på ansikter.

Likevel, alle polyhedra har felles egenskaper:

1. De har alle tre integrerte komponenter: Ansikts (polygonale overflate), øverst (de vinkler som er dannet i bakken fasetter forbindelsen), en kant (side eller cut former dannet ved forbindelsen mellom to flater).
2. Hvert polygon kant forbinder de to, og bare to flater som er i forhold til hverandre er tilstøtende.
3. Den bule betyr at kroppen er fullstendig anordnet bare på den ene side av planet på hvilken hviler en av overflatene. Regelen gjelder for alle ansikter av polyhedron. Disse geometriske figurer i romgeometri begrep som heter konveks polyedre. Unntak er stel polyedre som er avledet fra regulære polygonale geometriske legemer.

Polyhedra kan deles inn i:

1. Typer av konvekse polyedre, bestående av de følgende klasser: konvensjonell eller klassiske (en prisme, en pyramide, en boks), til høyre (også kalt platonske faste stoffer), semiregular (andre navn - Arkimedes-faststoffer).
2. Ikke-konvekse polyhedrons (stel).

Prism og dens egenskaper

Geometri som en divisjon geometri studier av egenskapene til tredimensjonale former, typer av polyedre (prisme blant dem). Prism kalt geometrisk legeme som har krevd to identiske overflater (også kalt baser) som ligger i parallelle plan, og n-te av sideflatene i form av parallellogrammer. I sin tur, har prisme også flere varianter, blant annet slike typer polyedre, for eksempel:

1. Parallellepiped - som dannes når basen er et parallellogram - en polygon med par av to motstående like vinkler og to par motstående sider sammenfallende.
2. Prisme er vinkelrett til kantene av basen.
3. Den hellende prisme karakterisert ved indirekte vinkel (annet enn 90) mellom sidene og bunnen.
4. Riktig karakterisert prisme baser i form av en regulær mangekant med like store sideflater.

De viktigste egenskapene til prisme:

• Kongruente baser.
• Alle kantene av prismet er like og parallelle med hverandre.
• Alle sideflatene har en form av et parallellogram.

pyramide

Pyramide kalt geometrisk legeme som omfatter en base og en av de n-te av de triangulære flater som kobler på et enkelt punkt - toppen. Det skal bemerkes at hvis sideflater av pyramiden er representert ved triangler er nødvendig, så kan basen være en som en trekantet polygon eller firkant og femkantede, og så videre i det uendelige. I dette tilfellet, navnet på pyramiden svarer til en polygon på basen. For eksempel, hvis basen er en trekant pyramide - en trekantet pyramide, firkant - firkantet, osv ...

Pyramider - det konusopodobnye polyedre. Typer av polyedre av denne gruppen, i tillegg til ovennevnte, har også følgende representanter:

1. Regulær pyramide har basis av en regulær polygon, og dens høyde er anslått til sentrum av en sirkel innskrevet i basen eller omskrevet rundt det.
2. En rektangulær pyramide dannes når en av sidekantene skjærer bunnen i en rett vinkel. I et slikt tilfelle, denne kant sann også kalt pyramidehøyden.

Pyramid Egenskaper:

• I det tilfellet hvor alle sidekantene kongruente pyramider (det samme høyde), de overlapper med en base ved en vinkel, og rundt bunnen kan tegne en sirkel med sentrum sammenfallende med projeksjonen av toppunktet av pyramiden.
• Hvis bunnen av pyramiden er en regulær mangekant, alle sidekanter er sammenfallende, og flatene er likebente trekanter.

Regulært polyeder: typer og egenskaper for polyhedra

I stereometrical oppta et spesielt sted den geometriske legeme med en helt lik hverandre fasetter hvis toppunkter som er forbundet med det samme antall ribber. Disse organene er kalt platonske faste stoffer, eller regulære polyedre. Typer av polyedre med slike egenskaper, er det bare fem tall:

1. Tetraeder.
2. Hexahedron.
3. Oktaeder.
4. Dodecahedron.
5. Ikosaeder.

Hans navn regulære polyedre må gamle greske filosofen Platon beskrev disse geometriske legemer i sitt arbeid, og for å koble dem med elementer av natur: jord, vann, ild, luft. Femte figur tildelt likheter med strukturen i universet. Ifølge ham, naturkatastrofer atomer ligner typer regulære polyedre. Takket være den mest spektakulære funksjon - symmetri, disse geometriske figurer av stor interesse, ikke bare for de gamle matematikere og filosofer, men også for arkitekter, malere og skulptører gjennom tidene. Tilstedeværelsen av bare fem arter med absolutt symmetri polyhedra ansett som en fundamental oppdagelse, de tildelt selv forbindelse med det guddommelige.

Hexahedron og dens egenskaper

I form av heksaedre etterfølgere Plato antatt likhet med strukturen av jord atomer. Selvfølgelig, nå fullstendig tilbakevist denne hypotesen, som imidlertid ikke forstyrrer tegninger og modernitet for å tiltrekke hodet av kjente figurer av hans estetikk.

I geometri er en hexahedron, han kube betraktes som et tilfelle av boksen, noe som i sin tur er en slags prisme. Følgelig egenskapene assosiert med kube prisme egenskaper med den eneste forskjell at alle kanter og hjørner av kuben er like. Fra dette følgende egenskaper:

1. Alle kanter av en terning er kongruente og ligger i parallelle plan i forhold til hverandre.
2. Alle ansikter - kongruente kvadrater (av kuben 6), en hvilken som helst av disse kan tas som basis.
3. Alle vinkler er like intergranal 90.
4. Fra hvert knutepunkt har et likt antall av ribber, nemlig tre.
5. Kuben har ni symmetriakser, som alle krysser hverandre i skjæringspunktet mellom diagonalene av heksa, referert til som et senter for symmetri.

tetraeder

Tetrahedron - et tetraeder med kanter like i form av trekanter, er hvert topp-punkt som forbindelsespunktet mellom tre kanter.

Egenskapene til en vanlig tetraeder:

1. Alle ansiktene til tetraeder - en likesidet trekant, noe som betyr at alle ansiktene til et tetraeder er sammenfallende.
2. Siden basis er en regulær geometrisk figur, det vil si, den har like sider, med overflatene av tetraederet og løper sammen i samme vinkel, dvs. at alle vinkler er like.
3. Mengden plane vinkler i hvert av hjørnene er lik 180, siden alle vinkler er like, en hvilken som helst vinkel av et regulært tetraeder 60.
4. Hver av de vertekser projiserte skjæringspunktet mellom høydene av den motsatte (orthocenter) flate.

Oktaeder og dens egenskaper

Beskriver typer av regulære polyedre, bør det bemerkes at objektet som et oktaederet, som kan bli visuelt representert som to limte firkantede baser av regulære pyramider.

Egenskapene til octahedron:

1. Selve navnet for det geometriske kroppen forteller antall av sine ansikter. Oktaeder består av 8 kongruente likesidet trekant, hvor hver av disse er lik antallet av hjørner konvergerende flater, nemlig 4.
2. Ettersom alle flater av oktaederet er like og dens hjørner intergranal, som hver er 60, og summen av plane vinkler noen av topp-punkt er således 240.

dodecahedron

Hvis vi tenker oss at alle ansiktene til de geometriske kroppen er en regulær femkant, får du en dodecahedron - en figur av 12 polygoner.

Egenskaper dodecahedron:

1. På hvert toppunkt skjærer langs tre sider.
2. Alle flater er like og har den samme lengde av ribber, og likt areal.
3. På dodekahedronsk 15 akser og symmetriplan, med en hvilken som helst av dem passerer gjennom midten av toppflaten, og en motsatt kant.

ikosaeder

Like interessant enn dodecahedron, representerer ikosaeder figuren den tredimensjonale geometriske legeme 20 med like sider. Blant egenskapene riktig ikosaeder er følgende:

1. Alle ansikter av ikosaeder - likebeint trekant.
2. Ved hvert toppunkt av polyhedron konvergerer fem flater, og summen av nabovinkler er 300 topper.
3. Ikosaeder er den samme som og dodecahedron, 15 akser og symmetriplan som passerer gjennom midtpunktene av motsatte sider.

semiregular polygoner

Videre platonic stoff, polyhedrons konvekse gruppen inkluderer også Arkimedes-faststoffer, som er forkortede regulært polyeder. Typer av polyedre i denne gruppen har følgende egenskaper:

1. Geometrisk legeme er parvis like store flater av flere typer, for eksempel, er avkortet tetraeder det samme som et regulært tetraeder, 8 ansikter, men i det tilfelle legemet 4 Arkimedes-flatene er trekantet og 4 - sekskantet.
2. Alle vinkler er sammenfallende til en toppunktet.

stel polyhedra

Representanter art neobomnyh geometriske legemer - stel polyhedrons, hvis sider som skjærer hverandre med hverandre. De kan dannes ved fusjon av to faste tredimensjonale legemer eller som et resultat av fortsettelsen av sine flater.

Således er slike kjente stel polyedre som: stel form av et oktaeder, dodecahedron, ikosaeder, cuboctahedral, ikosidodekaeder.