Reelle tall og deres egenskaper

Pythagoras hevdet at antallet er grunnlaget for verden på linje med hovedelementene. Platon mente at antall koblinger fenomenet og noumenon, bidrar til å vite, for å bli veid og å trekke konklusjoner. Aritmetikk kommer fra ordet "arifmos" - nummeret, utgangspunkt i matematikk. Det er mulig å beskrive et objekt - fra grunnskole til eple abstrakte områder.

Behov som utviklingsfaktor

I de innledende stadier av utviklingen av samfunnet folks behov begrenset av behovet for å holde stillingen - .. En pose av korn, to korn pose, etc. For å gjøre dette, ble det naturlige tall, settet av dem er et uendelig sekvens av positive heltall N.

Senere, utvikling av matematikk som en vitenskap, var det nødvendig i den spesifikke felt av heltall Z - det inkluderer negative verdier og null. Hans opptreden på nasjonalt nivå, ble det utløst av det faktum at den opprinnelige regnskap måtte liksom fikse gjeld og tap. På et vitenskapelig nivå, har negative tall gjort det mulig å løse enkle lineære ligninger. Blant annet er det nå mulig å avbilde en triviell koordinatsystem, altså. A. Det var et referansepunkt.

Neste skritt var å måtte gå inn fractional tall, siden vitenskapen ikke stå stille, flere og flere nye funn krevde et teoretisk grunnlag for en ny push vekst. Så det var et felt av rasjonale tall Q.

Til slutt, ikke lenger oppfyller kravene til rasjonalitet, fordi alle nye funn krever begrunnelse. Det var et felt av ekte R tall, verk av Euklids incommensurability av visse mengder på grunn av deres irrasjonalitet. Det vil si, den gamle greske matematikeren plassert ikke bare tall som en konstant, men som en abstrakt verdi som er kjennetegnet ved forholdet mellom usammenlignbare størrelser. På grunn av det faktum at det er reelle tall, "vi så lyset" verdier som "pi" og "e", uten noe som moderne matematikk ikke kunne ha funnet sted.

Den endelige innovasjon var et komplekst tall C. Det besvart en rekke spørsmål og tilbakevist tidligere inngåtte postulater. På grunn av den raske utviklingen av algebra utfallet var forutsigbar - med reelle tall, avgjørelsen av mange problemer ikke var mulig. For eksempel, takket være de komplekse tall sto strengteori og kaos utvidet ligninger av hydrodynamikk.

Sett Theory. kantor

Begrepet uendelighet har alltid forårsaket kontroverser, som det var umulig å bevise eller motbevise. I forbindelse med matematikk, som er operert strengt verifisert postulater, det manifestert seg mest åpenbart, jo mer at den teologiske aspektet likevel veies i naturfag.

Men gjennom arbeidet med matematikeren Georg Cantor hele tiden falt på plass. Han beviste at de uendelige sett er det en uendelig sett, og at feltet R er større enn feltet N, la begge og har ingen ende. I midten av det nittende århundre, hans ideer offentlig kalt tull og en forbrytelse mot klassiske uforanderlige kanoner, men tiden vil sette alt på sin plass.

Grunnleggende egenskaper av feltet R

Faktiske tallene ikke bare har de samme egenskapene som den podmozhestva at de inkluderer, men er supplert med andre masshabnosti i kraft av dens elementer:

• Null R. eksisterer og tilhører området c + = c 0 for enhver c av R.
• Null eksisterer og tilhører området R. c x 0 = 0 for enhver c av R.
• Forholdet c: d når d ≠ 0 eksisterer og er gyldig for alle c, d av R.
• Felt R bestilt, dvs. dersom c ≤ d, d ≤ c, deretter c = d for et hvilket som helst c, d av R.
• Tilsetning i felt R er kommutativ, dvs. at c + d = d + c, for en hvilken som helst c, d av R.
• Multiplikasjon i felt R er kommutativ, dvs. x c x d = d c for alle c, d av R.
• Tilsetning i felt R er assosiativ dvs. (c + d) + f = c + (d + f) for alle c, d, f av R.
• Multiplikasjon i felt R er assosiativ dvs. (c x d) x f = c x (d x F) i en hvilken som helst c, d, f av R.
• For hver rekke felt R motsatt av den der, slik at c + (c) = 0, hvor c, -c fra R.
• For hver rekke felt R eksisterer dens inverse, slik at c x c ^-1 = 1 hvor C, ^C-1 på R.
• Enhet finnes, og tilhører R, slik at C x 1 = c, til hvilken som helst av c R.
• Det har kraftlovindeksen fordeling, slik at c x (d + f) = c x d + c x f, for en hvilken som helst c, d, f av R.
• R-feltet er null er ikke lik enheten.
• Felt R er transitive: if c ≤ d, d ≤ f, deretter c ≤ f for enhver c, d, f av R.
• I R, og tilsetningsrekkefølgen er forbundet med hverandre: if c ≤ d, deretter c + f ≤ d + f for alle c, d, f av R.
• I størrelsesorden R og multiplikasjon bundet: if 0 ≤ c, 0 ≤ d, deretter 0 ≤ c x d for et hvilket som helst c, d av R.
• Som negative og positive reelle tall er kontinuerlige, dvs. for en hvilken som helst c, d av Rf, foreligger det fra R, som c ≤ f ≤ d.

Modul felt R

De reelle tallene inkluderer slikt som en modul. Utpekt det som | F | for noen f i R. | F | = F, hvis 0 ≤ f og | f | = -f, hvis 0> f. Hvis vi ser på modulen som et geometrisk verdi, er det en avstand - det spiller ingen rolle, "bestått" deg som null i det negative til det positive eller fremover.

Komplekse og reelle tall. Hva er likhetene og forskjellene?

I det store, komplekse og reelle tall - de er ett og det samme, bortsett fra at den første sluttet den imaginære enhet i, av disse er den firkantede lik -1. Elementer felt R og C kan representeres ved den følgende formel:

• c = d + f x I, hvor d, f tilhører feltet R, og i - imaginære enhet.

For å få c av R f i dette tilfellet bare antas å være null, det vil si, det er bare den reelle delen av nummeret. På grunn av at felt av komplekse tall har de samme funksjonene som feltet av fast, f x i = 0 hvis F = 0.

Når det gjelder praktiske forskjeller, for eksempel i felten R kvadratiske ligningen ikke kan løses hvis den diskriminant er negativ, mens C-boksen ikke pålegge denne begrensningen ved å innføre den imaginære enhet i.

resultater

"Bricks" av aksiomer og postulater som grunnlag matematikk, ikke endre. På noen av dem på grunn av økningen av informasjon og innføring av nye teorier plassert følgende "murstein", som i fremtiden kan bli grunnlaget for neste trinn. For eksempel, naturlige tall, til tross for at de er en undergruppe av den virkelige felt R, ikke mister sin relevans. Det er for dem grunnlaget for all elementær aritmetikk, som begynner med kunnskap om en fredens mann.

Fra et praktisk synspunkt, de reelle tallene ser ut som en rett linje. Det er mulig å velge en retning, for å identifisere opprinnelsen og banen. Direkte består av et uendelig antall punkter, som hver svarer til et enkelt reelt tall, uavhengig av hvorvidt eller ikke rasjonelt. Fra beskrivelsen er det klart at vi snakker om konseptet, som er basert matematikk generelt, og matematisk analyse spesielt.