Den deriverte av sinus til vinkelen er lik med cosinus til den samme vinkel

Dana enkel trigonometri funksjonen y = sin (x), er deriverbar ved hvert punkt på hele domenet. Vi må vise at den deriverte av sinus av et argument er lik med cosinus til den samme vinkel, det vil si, '= cos (x).

Beviset er basert på definisjonen av et derivat funksjon

Vi definerer x (vilkårlige) i noen små nabolaget av et bestemt punkt x Ah _0. Vi vil vise funksjonsverdien i det, og på det punktet x for å finne den tilveksten av en gitt funksjon. Hvis Ah - argument økes, den nye argument - denne x ₀ + Ax = x, er verdien av denne funksjon for en gitt verdi av argumentet (x) lik Sin (x ₀ + Ax), det funksjonsverdien på et bestemt punkt (x ₀₎ er også kjent .

Nå har vi Au = Sin (x ₀ + Ah) -Sin (x ₀₎ - fått tilvekst funksjon.

Ifølge formelen for sinus summen av to ulike vinkler vil vi konvertere forskjellen Au.

Au = Sin (x ₀₎ · Cos (Ah) + cos (x ₀₎ · Sin (ax) minus Sin (x ₀₎ = (cos (ax) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · Sin (Ah).

Utført permutasjon betingelser gruppert første til tredje Sin _{(0 x),} tatt ut den felles faktor - sinus - brakettene. Vi har mottatt i uttrykket Cos forskjellen (Ah) -1. Det venstre for å endre fortegnet foran parentesen og braketter. Å vite hva som er den 1-cos (Ah), vi gjør endringen og oppnå en forenklet uttrykk Au, som deretter dividert med Ah.
Au / Ah vil ha formen: Cos (x ₀₎ · Sin (Ah) / Ah 2 * Sin ² (0,5 x Ah) · Sin (x ₀₎ / Ah. Dette er forholdet mellom tilveksten av funksjonen med opptaket til den økning av argumentet.

Det gjenstår å finne grensen av forholdene oppnådd ved oss i et begrenset tidsrom Ah, som tenderer til null.

Det er kjent at grense Sin (Ah) / Ax er lik 1, under den betingelse. Og uttrykket 2 * Sin ² (0,5 x Ah) / Ah i de resulterende sum særlige transformasjoner produkt inneholdende som første multiplikator bemerkelsesverdig grense: telleren i fraksjonen og znemenatel dividerer med 2, kvadratet av den sinus erstatte produktet. Slik gjør du:
(Sin (0,5 · ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
Grensen for dette uttrykk når Ah tendens til null, vil være lik antallet av null (0 multiplisert med 1). Det viser seg at grensen av forholdet Ay / Ah er Cos (x ₀₎ · 1-0, er dette Cos (x _0), er uavhengig av Ah hvor ekspresjonen av dette tenderer til 0. Konklusjonen: den deriverte av sinus til hvilken som helst vinkel er lik x cosinus x, kan skrives som: y '= cos (x).

Det resulterende formel er oppført i tabellen av de kjente derivater, hvor alle de elementære funksjoner

I å løse problemer, hvor han møter den deriverte av sinus, kan du bruke reglene for differensiering og ferdige formler i tabellen. For eksempel: finne den deriverte av den enkleste funksjonen y = 3 · Sin (x) -15. Vi bruker det elementære derivasjonsregler fjerning numerisk faktor for fortegnet av den deriverte, og beregne den deriverte konstant tall (som er lik null). Påfør en sinus tabell verdi av den deriverte av vinkelen x lik cos (x). Motta svaret: y '= 3 · Cos (x) -O. Dette derivat, i sin tur, er også en elementær funksjonen y = h-cos (x).

Den deriverte av kvadratisk sinus av enhver argument

Ved beregning av uttrykket ⁽² Sin (x)) 'må huske hvor differensiert kompleks funksjon. Så, ^to = Sin (x) - er en strøm funksjon som sinus squared. De fram er også en trigonometrisk funksjon, et kompleks argument. Resultatet i dette tilfellet er lik produktet av den første multiplikator er et kvadrat av komplekset derivat av argumentet, og den andre - derivatet av sinus. Her er regelen for å skille en funksjon av en funksjon: (u (v (x))) 'er (u (v (x)))' · (v (x))'. Ekspresjon av v (x) - et kompleks argument (intern funksjon). Dersom den gitte funksjon "y er lik kvadratisk sinus x", da den deriverte av denne sammensatte funksjon er y '= 2 * Sin (x) · cos (x). Produktet fra den første multiplikator doblet - derivat kjent eksponentiell funksjon, og cos (x) - derivat sinus komplekse argument av kvadratisk funksjon. Det endelige resultatet kan bli transformert ved hjelp av formelen for den trigonometriske sinus av den dobbelte vinkel. A: Den deriverte er Sin (2 * x). Denne formelen er lett å huske, er det ofte brukt som en tabell.