Fourierrekker: historie og påvirkning av den matematiske mekanisme for utvikling av vitenskap

Fourierrekker - dette synet vilkårlig valgt funksjoner til perioden på rad. I generelle termer, er denne løsning kalt ekspansjonselementet på en ortogonal basis. Utvidelsen av funksjoner i Fourier-rekker er ganske et kraftig verktøy for å løse forskjellige problemer på grunn av egenskapene til transformasjon i integrasjon, differensiering, samt et skift i argumentet uttrykk og konvolusjon.

En person som ikke er kjent med høyere matematikk, samt med verk av den franske vitenskaps Fourier, mest sannsynlig ikke vil forstå hva "rekkene" og hva de gjør. Likevel er denne transformasjonen er ganske godt inn våre liv. Den brukes ikke bare matematikk, men også fysikere, kjemikere, leger, astronomer, seismologer, oseanografer og andre. La oss også ta en nærmere titt med verk av den store franske vitenskapsmann som gjorde oppdagelsen, forut for sin tid.

Mannen og Fourier transform

Fourier-serie er en av metodene (sammen med analyse og andre) av Fourier-transformasjonen. Denne prosessen finner sted hver gang en person hører noen lyd. Vårt øre automatisk konverterer lydbølgen. Oscillerende bevegelse av elementærpartikler i et elastisk medium ekspanderes i serien (det spektrum) suksessive volumverdier for toner av forskjellig høyde. Deretter konverterer hjernen disse dataene til kjente lyder for oss. Alt dette er i tillegg til vårt ønske eller bevisstheten selv, men for å forstå prosessene som tar flere år å studere høyere matematikk.

Les mer om Fourier transform

Fourier-transformasjonen kan bli utført analytiske, tall og andre metoder. Fourier-serien er tallet prosess for dekomponering av enhver svingningsprosesser - fra havet tidevann og bølger av lys til solcelle sykluser (og andre astronomiske objekter) aktivitet. Ved hjelp av disse matematiske teknikker, er det mulig å demontere den funksjon, som representerer eventuelle svingningsprosesser i flere sinusformede komponenter som går fra minimum til maksimum og omvendt. Fourier-transformasjonen er en funksjon som beskriver den fasen og amplituden til sinusformede signaler svarende til en bestemt frekvens. Denne fremgangsmåte kan anvendes for å løse et meget kompliserte ligninger som beskriver den dynamiske prosesser som skjer under påvirkning av varme, lys eller elektrisk energi. Også den Fourier-serien benyttes til å skille DC-komponenter i komplekse bølgeformer, noe som gjør det mulig å korrekt tolke de eksperimentelle observasjoner i medisin, kjemi og astronomi.

historisk informasjon

Grunnleggeren av denne teorien er den franske matematikeren Zhan Batist Zhozef Fure. Hans navn senere, og denne transformasjonen har blitt kalt. Til å begynne med brukte forskerne en teknikk for å studere og forklare mekanismene ved termisk ledningsevne - varme forplantning i faste stoffer. Fourier foreslått at den opprinnelige uregelmessig fordeling av den termiske bølge kan dekomponeres i enkel sinussignal, som hver vil ha sin temperatur minimum og maksimum, så vel som dens fase. Således hver slik komponent som skal måles fra minimum til maksimum og omvendt. Den matematiske funksjon som beskriver den øvre og nedre topper i kurven, såvel som fasen for hver harmonisk, kalt Fourier-transformasjonen av temperaturfordelingen i uttrykket. Forfatteren av teorien av redusert totalfordelingsfunksjonen som er vanskelig å matematisk beskrivelse, på en meget enkel å håndtere en rekke av periodiske funksjoner av sinus og cosinus, i en mengde for å gi den opprinnelige fordeling.

Prinsippet om konvertering og synspunktene til samtidige

Samtidige av forskeren - de ledende matematikere begynnelsen av forrige århundre - ikke godta denne teorien. Den største innvending var godkjenning av Fourier at den diskontinuerlige funksjonen som beskriver en rett linje eller kurve er revet, den kan representeres som en sum av sinusformede uttrykk som er sammenhengende. Som et eksempel kan et "trinn" Unit: dens verdi er null til venstre for spalten og en på høyre side. Denne funksjonen beskriver avhengigheten av elektrisk strøm på den tidsvariable for lukningen kjeden. Moderne teori på den tiden, aldri hadde støtt på en slik situasjon, når en diskontinuerlig uttrykk vil bli beskrevet ved hjelp av en kombinasjon av kontinuerlige, felles funksjoner, som for eksempel eksponensiell, sinus, lineær eller kvadratisk.

Hva som plaget de franske matematikere i teorien om Fourier?

Tross alt, hvis en matematiker var riktig å hevde, deretter, å summere et uendelig trigonometriske Fourier-serie, er det mulig å oppnå en nøyaktig gjengivelse av trinnet av ekspresjon, selv om den har et sett med lignende trinn. I begynnelsen av forrige århundre, virket dette utsagnet absurd. Men til tross for all tvil, har mange matematikere utvidet omfanget av studien av dette fenomenet, flytte det utover de termiske ledningsstudier. Men, fortsatte de fleste forskere å lide spørsmålet: "Kan summen av sinusbølgen serie konvergerer til den eksakte verdien av en usammenhengende funksjon"

Konvergens av Fourier-rekker: f.eks

Spørsmålet om konvergens stiger hver gang du trenger summering av en uendelig rekke tall. vurdere et klassisk eksempel for forståelsen av dette fenomenet. Kan du noen gang kommer til veggen, hvis hvert trinn er halve forrige? Tenk deg at du er to meter fra mål, det første skritt nærmere rundt halvveis, den neste - merket av en tre fjerdedeler, og etter den femte, du vil overvinne nesten 97 prosent av veien. Men uansett hvor mange skritt du har gjort verken den tiltenkte målet du nå i en streng matematisk forstand. Ved hjelp av numeriske beregninger, kan vi vise at til slutt kan være nærmere en vilkårlig liten gitt avstand. Dette er ekvivalent med et bevis som viser at den totale verdien av en halv, en fjerdedel, og så videre. E. vil tendere til enhet.

Spørsmålet om konvergens: den andre kommer, eller instrument av Lord Kelvin

Gjentatte ganger kom spørsmålet i slutten av nittende århundre, da Fourierrekker har forsøkt å bruke til å forutsi intensiteten av ebber og strømmer. På den tiden ble Lord Kelvin anordningen ifølge oppfinnelsen er en analog datamaskin som tillot seilere marine og handelsflåte skjerm er et naturlig fenomen. Denne mekanismen definert sett av fasene og amplitudene til bordhøyden av tidevannet og de tilsvarende tidsmomenter, nøye målt i havnen i løpet av året. Hver parameter er en sinuskomponent uttrykk tidevanns høyder, og var en av de vanlige komponenter. Måleresultatene er inngang til databehandlingsanordningen Lord Kelvin, syntetisering av kurven som er forutsagt vannhøyden som en funksjon av det følgende år. Veldig snart ble disse kurvene utarbeidet for alle havnene i verden.

Og hvis prosessen vil bli brutt usammenhengende funksjon?

På den tiden det syntes innlysende at anordningen forutsi en tidevannsbølgen, med mange elementer av konto kan beregne et stort antall faser og amplituder, og så gi et mer nøyaktig anslag. Likevel viste det seg at dette mønsteret ikke er observert i tilfeller der tidevanns uttrykk som blir syntetisert, inneholdt et kraftig hopp, det vil si, er usammenhengende. I det tilfelle at anordningen for å legge inn data fra en tabell over tidspunkter, beregner det noen Fourier-koeffisienter. Gjenvinning av den opprinnelige funksjon på grunn av den sinusformede komponent (i samsvar med de som finnes koeffisienter). Avviket mellom den opprinnelige og den rekonstruerte ekspresjon kan bli målt ved et hvilket som helst punkt. Når de gjentatte beregninger og sammenligninger kan sees at verdien av det største feilen ikke er redusert. Men de er lokalisert i det område som svarer til bruddpunktet, og hvilket som helst annet punkt har en tendens til null. I 1899 ble dette resultatet bekreftet teoretisk Joshua Willard Gibbs ved Yale University.

Konvergens av Fourier-rekker og utvikling av matematikken som helhet

Fourier-analyse gjelder ikke for uttrykk som inneholder et uendelig antall av skurer med visse intervall. Generelt Fourier-serie, hvis den opprinnelige funksjon er representert ved produktet av de faktiske fysiske målinger, alltid konvergere. Spørsmål om konvergens av denne prosessen for bestemte klasser av funksjoner har ført til nye grener av matematikken, for eksempel teorien om generalisert funksjoner. Det er forbundet med navn som Schwartz, J .. Mikusiński og J. tempel. I henhold til denne teori, har et klart og presist teoretisk grunnlag for slik ekspresjon blitt etablert som Dirac-deltafunksjonen (den beskriver området av et enkelt område, konsentrert i en forsvinnende området av spissen) og "trinn" Unit. Gjennom dette arbeidet Fourier-serien ble anvendelig for å løse ligninger og problemer som involverer intuitive begreper: punkt charge, punkt masse, magnetiske dipoler, og den konsentrerte belastningen på bjelken.

Fourier metode

Fourier-serie, i overensstemmelse med prinsippene for interferens, begynne med nedbrytning av komplekse former i enklere. For eksempel vil en endring i varmestrøm på grunn av sin passasje gjennom de forskjellige barrierer av varmeisolerende materiale med uregelmessig form eller endring av jordoverflaten - et jordskjelv, en forandring i banen til himmellegeme - påvirkning av planetene. Vanligvis er disse ligninger som beskriver enkel klassisk system elementær løses for hver enkelt bølgelengde. Fourier har vist at enkle løsninger kan summeres opp som for mer komplekse oppgaver. I matematisk språk, Fourier-serien - en metodikk for innsendelse av ekspresjonen sum av harmoniske - cosinus og sinus bølger. Derfor er denne analysen også er kjent under navnet "harmonisk analyse".

Fourierrekker - en ideell metode til "dataalderen"

Før etableringen av datateknologi Fourier-metoden er det beste våpenet i arsenal av forskere som arbeider med bølgen natur i vår verden. Fourierrekker i kompleks form kan du ikke bare løse enkle problemer som er mottagelig for direkte anvendelse av Newtons lover mekanikk, men også de grunnleggende ligninger. De fleste funnene av newtonsk vitenskap av det nittende århundre ble mulig bare på grunn av Fourier-metoden.

Fourierrekker dag

Med utviklingen av Fourier transform datamaskiner har steget til et nytt nivå. Denne teknikken er fast forankret i nesten alle felt av vitenskap og teknologi. Som et eksempel, en digital audio og video. Gjennomføringen har blitt gjort mulig bare takket være teori utviklet av den franske matematikeren fra begynnelsen av forrige århundre. Således har den Fourier-serie i kompleks form tillates å lage et gjennombrudd i studiet av det ytre rom. I tillegg har den påvirket studiet av fysikken i halvledermaterialer og plasma, mikro akustikk, oseanografi, radar, seismologi.

Trigonometriske Fourier-serie

I matematikk, er en Fourier-serie en måte å representere vilkårlige komplekse funksjoner som en sum av enklere. Generelt tilfeller kan antallet uttrykk være uendelig. Jo større antall telles i beregningen, er det mer nøyaktig det endelige resultat oppnås. Den mest vanlige bruken av enkle trigonometriske cosinus eller sinusfunksjon. I dette tilfellet er Fourierrekker kalt trigonometriske, og avgjørelsen av slike uttrykk - harmonisk nedbryting. Denne metoden spiller en viktig rolle i matematikk. For det første gir den trigonometriske rekker et middel for bildet, så vel som studiet av funksjoner, er det hovedenheten av teorien. I tillegg gir det oss til å løse en rekke problemer i matematisk fysikk. Endelig har denne teorien bidratt til utviklingen av matematisk analyse, det ga opphav til en rekke svært viktige grener av matematisk vitenskap (teori om integraler, teorien om periodiske funksjoner). I tillegg er utgangspunktet for utviklingen av disse teoriene: sett, funksjoner av en reell variabel, funksjonell analyse, og også la grunnlaget for den harmoniske analysen.