Ubestemt integral. Beregning av ubestemte integraler

En av de grunnleggende delene av matematisk analyse er integralregning. Den dekker et svært bredt felt av objekter, hvor det første - det er ubestemt integral. Plasser den står som en nøkkel som fortsatt er i videregående skole avslører et økende antall prospekter og muligheter, som beskriver høyere matematikk.

utseende

Ved første øyekast virker det helt integrert i moderne, aktuell, men i praksis viser det seg at han kom tilbake i 1800 BC. Hjem til offisielt ansett Egypt som ikke nådde oss tidligere bevis på sin eksistens. Det på grunn av mangel på informasjon, samtidig plassert bare som et fenomen. Han igjen bekrefter nivået av vitenskapelig utvikling av folkene i disse tider. Til slutt ble arbeidene fant de gamle greske matematikere, som stammer fra det 4. århundre f.Kr.. De beskriver fremgangsmåten anvendt hvor det ubestemte integral, hvor essensen var å finne det volum eller område av en krumlinjet form (tre-dimensjonale og to-dimensjonale plan, henholdsvis). Beregningen er basert på prinsippet med oppdeling av det opprinnelige tall i forsvinnende komponenter, forutsatt at volumet (område) er allerede kjent for dem. Over tid, metoden har vokst, Arkimedes brukte den til å finne arealet av en parabel. Lignende beregninger på samme tid til å gjennomføre øvelser i det gamle Kina, hvor de var helt uavhengig fra det greske fyr vitenskap.

utvikling

Det neste gjennombrudd i XI århundre f.Kr. har blitt arbeidet med den arabiske lærde "stasjonsvogn" Abu Ali al-Basri, som presset grensene av allerede kjent, ble avledet fra integralformel for å beregne summen av beløpene og grader fra første til fjerde, søker om dette kjent for oss induksjonsmetoden.
Minds i dag er beundret av de gamle egypterne skapte fantastiske monumenter uten spesialverktøy, med unntak av at deres egne hender, men er ikke en makt gale vitenskapsmenn på den tiden ikke mindre et mirakel? Sammenlignet med dagens tider av livet synes nesten primitive, men avgjørelsen av ubestemte integraler utledes overalt og brukes i praksis for videre utvikling.

Det neste trinnet fant sted i det XVI århundre, da den italienske matematikeren Cavalieri brakt udelelig metoden, som plukket opp Per Ferma. Disse to personlighet la grunnlaget for den moderne integralregning, som er kjent i øyeblikket. De bandt begrepene differensiering og integrering, som tidligere ble sett på som selvstendige enheter. I det store og matematikk i den tiden var fragmenterte partikler eksisterer funn av seg selv, med begrenset bruk. Måte å forene og finne en felles plattform var den eneste sanne i øyeblikket, takket være ham, den moderne matematisk analyse hatt muligheten til å vokse og utvikle seg.

Med passering av tid forandrer alt og integrert symbol også. Av og store, ble det utpekt forskere som på sin egen måte, for eksempel Newton brukte en firkantet ikon, som satte en integrerbar funksjon, eller rett og slett satt sammen. Dette misforholdet varte til XVII århundre, da et landemerke for hele teorien om matematisk analyse vitenskaps Gotfrid Leybnits innført en slik karakter kjent for oss. Avlang "S" er faktisk basert på dette brevet av det latinske alfabetet, siden betegner summen av primitiver. Navnet på den integrerte fått takket være Jakob Bernoulli, etter 15 år.

Den formelle definisjon

Ubestemt integral avhenger av definisjonen av primitive, så vi anser det i første omgang.

Antideriverte - er den inverse funksjon av den deriverte, i praksis kalles det primitive. Ellers: primitive funksjon av d - er en funksjon D som er den deriverte v <=> v '= v. Søk primitive er å beregne ubestemt integral, og selve prosessen kalles integrasjon.

eksempel:

Funksjonen r (y) = y ^3, og dens primitive S (y) = (y ^4/4).

Settet av alle primitiver for funksjonen - dette er en ubestemt integral, betegnes det som følger: ∫v (x) dx.

I kraft av det faktum at V (x) - er bare noe primitiv opprinnelige funksjon, har uttrykket: ∫v (x) dx = V (x) + C, hvor C - konstant. Under vilkårlig konstant refererer til en hvilken som helst konstant, siden dens deriverte er lik null.

egenskaper

Egenskapene besatt av det ubestemte integral, i hovedsak basert på definisjonen og egenskapene til derivatene.
Vurdere de viktigste punktene:

• integral-derivat av den primitive er primitive i seg selv, pluss en vilkårlig konstant C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivat av integralet av en funksjon er den opprinnelige funksjon <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstant er tatt ut fra under integral tegnet <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, hvor k - er vilkårlig;
• integral, som er hentet fra summen av identisk lik summen av integralene <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De to siste egenskaper kan konkluderes med at den ubestemte integralet er lineær. På grunn av dette, har vi: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

For å se eksempler for fiksering løsninger ubestemte integraler.

Du må finne integralet ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Fra eksempelet kan vi konkludere med at du ikke vet hvordan du skal løse ubestemte integraler? Bare finne alle de primitive! Men letingen etter de prinsipper som er omtalt nedenfor.

Metoder og eksempler

For å løse den integrerte, kan du ty til følgende metoder:

• klar til å dra nytte av bordet;
• integrering av delene;
• integrert ved å erstatte den variable;
• summere opp under tegnet av differensial.

tabeller

Den mest enkle og underholdende måte. For øyeblikket kan matematisk analyse skryte ganske omfattende tabeller, som stavet ut de grunnleggende formelen for ubestemte integraler. Med andre ord, det er maler som stammer opp til deg og du kan bare dra nytte av dem. Her er en liste over de viktigste tabellposisjoner, som kan vises nesten hvert tilfelle, har en løsning:

• ∫0dy = C, hvor C - konstant;
• ∫dy = y + C, hvor C - konstant;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, hvor C - en konstant, og n - tall forskjellig fra enhet;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, hvor C - konstant;
• ^{∫e y dy = e y + C} , hvor C - konstant;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, hvor C - konstant;
• ∫cosydy = siny + C, hvor C - konstant;
• ∫sinydy = -cosy + C, hvor C - konstant;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, hvor C - konstant;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, hvor C - konstant;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, hvor C - konstant;
• ∫chydy = sky + C, hvor C - konstant;
• ∫shydy = Chy + C, hvor C - konstant.

Om nødvendig, gjør et par skritt føre inte til tabellform og nyte seieren. Eksempel: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Ifølge vedtaket er det klart at for eksempel et bord integranden mangler multiplikator 5. Vi legger det parallelt med dette å multiplisere med 1/5 til generelt uttrykk endret seg ikke.

Integrasjon av deler

Betrakt to funksjoner - Z (y) og x (y). De må være kontinuerlig deriverbar på sitt domene. I en differensierings egenskaper har vi: d (xz) = xdz + ZDX. Integrere begge sider, får vi: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Omskriving resulterende ligningen, får vi den formel som beskriver metoden for integrasjon av deler: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Hvorfor er det nødvendig? Det faktum at noen av eksemplene er det mulig å forenkle, la oss si, for å redusere ∫zdx ∫xdz, dersom sistnevnte er i nærheten av tabellform. I tillegg kan denne formelen brukes mer enn en gang, for optimale resultater.

Hvordan løse ubestemte integraler på denne måten:

• nødvendig å beregne ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2E 2s, dy = e 2x} ds} = ((r + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((r + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• må beregne ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = S (LNS-1) + C.

Skifte variabel

Dette prinsippet om å løse ubestemte integraler er ikke mindre etterspurt enn de to foregående, men komplisert. Metoden er som følger: La V (x) - integralet av noen funksjon v (x). I tilfelle som i seg selv integrert i eksempel slozhnosochinenny kommer, vil trolig bli forvirret og gå ned i feil retning løsninger. For å unngå denne praksisen endringen fra den variable x til z, der det generelle uttrykk visuelt forenkles og samtidig opprettholde z avhengig av x.

I matematiske termer, er dette som følger: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), hvor x = y ( z) - substitusjon. Og, selvfølgelig, den inverse funksjonen z = y ^-1 (x) fullt ut beskriver forholdet og forholdet mellom variablene. Viktig notat - differensial dx nødvendigvis erstattet med en ny differensial dz, siden endringen av variable i ubestemt integral innebærer å erstatte det overalt, ikke bare i integranden.

eksempel:

• må finne ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Påfør substitusjonen z = (s + 1) / (e ² + 2s-5). Deretter dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) = ds dz / 2. Som et resultat, til det følgende uttrykk, som er meget lett å beregne:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | S ² + 2s-5 | + C;

• må du finne den integrerte ∫2 ^s e ^S DX

For å løse omskrive i følgende form:

^{∫2 s e r ds = ∫ (} 2e) s ds.

Vi betegner ved a = 2e (utskifting av argumentet dette trinnet er det ikke, det er fortsatt er), gir vi vår tilsynelatende komplisert integrert grunnleggende tabellform:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = et s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Oppsummering en differensial tegn

Av og store, denne metoden for ubestemte integraler - tvillingbror av prinsippet om endringen av variable, men det er forskjeller i prosessen med registrering. La oss se nærmere.

Hvis ∫v (x) dx = V (x) + C og y = z (x), deretter ∫v (y) dy = V (y) + C.

Samtidig må vi ikke glemme de trivielle integrerte transformasjoner, blant annet:

• dx = d (x + a), og karakterisert ved at - hver enkelt konstant;
• dx = (1 / a) d (ax + b), hvor a - konstant på nytt, men ikke null;
• XDX = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Hvis vi betrakter den generelle tilfellet hvor vi beregne ubestemte integralet, kan eksempler bli innordnet under den generelle formel w '(x) dx = dw (x).

eksempler:

• må finne ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = lN | coss | + C.

online hjelp

I noen tilfeller kan feilen som blir eller latskap, eller et presserende behov, kan du bruke den elektroniske veiledningen, eller rettere sagt, for å bruke en kalkulator ubestemt integraler. Til tross for den tilsynelatende kompleksitet og kontroversiell natur integra, er avgjørelsen utsatt til deres spesifikke algoritme, som er basert på prinsippet om "hvis du ikke ... da ...".

Selvfølgelig vil en spesielt intrikate eksempler på en slik kalkulator ikke mestrer, som det finnes tilfeller der en avgjørelse må finne en kunstig "tvunget" ved å innføre visse elementer i prosessen, fordi resultatene er åpenbare måter å nå. Til tross for den kontroversielle karakter av denne uttalelsen, er det sant, som matematikk, i prinsippet, en abstrakt vitenskap, og dens primære målet vurderer behovet for å styrke grensene. Faktisk, for en jevn kjøring i teoriene er svært vanskelig å flytte opp og utvikle seg, så ikke anta at eksemplene for å løse ubestemte integraler, som ga oss - dette er høyden av muligheter. Men tilbake til den tekniske siden av ting. Minst å kontrollere beregningene, kan du bruke tjenesten som det ble skrevet til oss. Hvis det er behov for automatisk beregning av komplekse uttrykk, så de ikke trenger å ty til en mer alvorlig programvare. Bør ta hensyn primært på miljøet Matlab.

søknad

Avgjørelsen av ubestemte integraler ved første øyekast virker helt løsrevet fra virkeligheten, fordi det er vanskelig å se den åpenbare bruken av flyet. Faktisk direkte bruke dem hvor som helst du ikke kan, men de er et nødvendig mellom element i prosessen med uttak av løsninger som brukes i praksis. Således integrering av ryggen differensiering, således aktivt i ferd med å løse ligninger.
I sin tur, disse ligningene har en direkte innvirkning på avgjørelsen av mekaniske problemer, bane beregning og termisk ledningsevne - kort sagt, er alt som utgjør den foreliggende og forme fremtiden. Ubestemt integral, og eksempler på disse vi har sett ovenfor, bare ubetydelig ved første øyekast, som en base for å utføre flere og flere nye funn.