Riemann hypotesen. Fordeling av primtall

I 1900, en av de største vitenskapsmenn i forrige århundre, David Hilbert laget en liste bestående av 23 uløste problemer i matematikk. Arbeidet med dem har hatt en enorm innvirkning på utviklingen av dette feltet av menneskelig kunnskap. Etter 100 år i Clay Matematisk institutt presentert en liste over syv problemer, kjent som Millennium mål. For avgjørelsen av hver av dem ble tilbudt prisen på $ 1 million.

Det eneste problemet, som var blant de to lister over oppgaver, for århundrer ikke gi resten til forskere, ble Riemann hypotesen. Hun er fortsatt venter på sin avgjørelse.

Kort biografisk informasjon

Georg Friedrich Bernhard Riemann ble født i 1826 i Hannover, i en stor familie av en dårlig pastor, og levde bare 39 år gammel. Han klarte å publisere 10 artikler. Men i løpet av livet til Riemann han betraktet som en etterfølger av sin lærer Johann Gauss. På 25 år ung forsker forsvarte sin avhandling "grunnlaget for teorien for funksjoner av en kompleks variabel." Senere formulerte han sin hypotese, som ble berømt.

primtall

Matematikk kom da mannen lærte å telle. Da stod den første ideen om tallene, som senere forsøkt å klassifisere. Det har blitt observert at noen av dem har felles egenskaper. Spesielt blant de naturlige tall m. E. De som ble benyttet i beregningen (nummerering) eller det angitte antall elementer har fått tildelt en gruppe av slike, og som er inndelt kun av ett og seg selv. De ble kalt enkel. En elegant bevis for teoremet uendelig sett med tall gitt av Euclid i sin "Elements". For øyeblikket er vi fortsetter søket. Spesielt, den største av en rekke kjente ² 74207281 - 1.

Eulers formel

Sammen med begrepet uendelig mange primtall Euclid definert og andre teoremet den eneste mulige faktorisering. I henhold til den hvilken som helst positivt heltall er et produkt av bare ett sett av primtall. I 1737, og den store tyske matematikeren Leonhard Euler uttrykt første av Euclid teorem på den uendelighet av formelen vist nedenfor.

Den kalles zeta-funksjonen, hvor s - en konstant og p er alle enkle verdier. Fra den direkte etterfulgt og godkjenning av det unike ved utvidelse av Euclid.

Riemann zeta funksjonen

Eulers formel ved nærmere ettersyn er ganske bemerkelsesverdig, som er gitt av forholdet mellom den enkle og heltall. Tross alt, i hennes venstre side multipliseres uendelig mange uttrykk som bare avhengig enkel, og i riktig mengde er forbundet med alle positive heltall.

Riemann gikk på Euler. For å finne nøkkelen til problemet med fordelingen av de tall, foreslås det å definere formelen for både de reelle og komplekse variable. Det var hun som senere ble kjent som Riemann zeta funksjonen. I 1859 forskeren publiserte en artikkel med tittelen "På antall primtall som ikke overstiger en forhåndsbestemt verdi", som oppsummerte alle sine ideer.

Riemann foreslått bruk av en rekke Euler, konvergent for alle reelle s> 1. Hvis den samme formelen anvendes for komplekse s, så serien vil konvergere for enhver verdi av den variable med den reelle delen er større enn 1. Riemann anvendes den analytiske videreføring av fremgangsmåten ved å utvide den definisjon av zeta (r) for alle komplekse tall, men å "kaste" enhet. Det var ikke mulig, fordi dersom s = 1 zeta funksjon økes til uendelig.

praktisk sans

Spørsmålet melder seg: hva er interessant og viktig zeta funksjon, noe som er avgjørende i arbeidet med Riemann på nullhypotesen? Som du vet, i øyeblikket ikke finnes et enkelt mønster som beskriver fordelingen av primtall blant de naturlige. Riemann i stand til å detektere at antall pi (x) av primtall, som ikke er overlegne i forhold til x, uttrykkes ved hjelp av fordelingen av ikke-triviell null zeta funksjon. Dessuten er det Riemann hypotesen en nødvendig betingelse for å bevise midlertidige evalueringer av visse kryptografiske algoritmer.

Riemann hypotesen

En av de første formuleringer av denne matematiske problem, ikke bevist i dag, er: trivielt 0 zeta funksjon - komplekse tall med reell del lik ½. Med andre ord, de er anordnet på en rett linje Re s = ½.

Det er også en generalisert Riemann hypotese, som er den samme setningen, men for generalisering av Zeta-funksjoner, som kalles Dirichlet (se. Bilde under) L-funksjoner.

I formelen χ (n) - en numerisk tegn (mod k).

Riemann uttalelse er den såkalte nullhypotese, som har blitt bekreftet for konsistens med eksisterende eksempeldata.

Som jeg argumenterte Riemann

Note tyske matematikeren ble opprinnelig formulert ganske tilfeldig. Faktum er at på den tiden forskeren skulle bevise et teorem på fordelingen av primtall, og i denne sammenheng, betyr denne hypotesen ikke mye effekt. Men dens rolle i å møte mange andre saker er enorm. Det er derfor Riemann hypotesen for nå mange forskere anerkjenner den viktige av uprøvd matematiske problemer.

Som det har blitt sagt, å bevise teoremet om fordelingen av den fulle Riemann hypotesen er ikke nødvendig, og ganske logisk bevise at den virkelige del av enhver ikke-triviell null av zeta funksjonen er mellom 0 og 1. Denne egenskapen innebærer at summen av alle 0-m zeta funksjon som vises i den nøyaktige formelen ovenfor, - endelig konstant. For store verdier av x, kan alt være tapt. Den eneste medlem av formelen, som vil forbli uforandret selv ved meget høye x, x er selv. Resten av de komplekse betingelsene i sammenligning med den asymptotisk forsvinne. Således tenderer den veide sum x. Dette faktum kan betraktes som bevis for sannheten av primtall teorem. Dermed nuller av Riemann zeta funksjonen vises en spesiell rolle. Det er å bevise at disse verdiene ikke kan bidra betydelig til ekspansjons formel.

Riemann følgere

Det tragiske dødsfallet av tuberkulose forhindret forskeren bringe til den logiske slutten av programmet. Men han tok stafettpinnen fra W-F. de la Vallée Poussin og Zhak Adamar. Uavhengig av hverandre de hadde trukket primtall teorem. Hadamard og Poussin klart å bevise at alle nontrivial 0 zeta funksjonen ligger innenfor den kritiske band.

Takket være arbeidet til disse forskerne, en ny gren av matematikken - analytiske teorien om tall. Senere har andre forskere fått en litt mer primitiv bevis for teoremet jobbet i Roma. Spesielt har Pal Erdos og Atle Selberg åpnet enda bekrefter dens meget kompleks kjede av logikk, ikke krever bruk av kompleks analyse. Men på dette punktet ideen om Riemann av flere viktige teoremer er påvist, inkludert tilnærming av de mange funksjonene i tallteori. I forbindelse med dette nye arbeidet Erdős og Atle Selberg nesten alt ikke berørt.

En av de enkleste og vakreste bevis på problemet er funnet i 1980 av Donald Newman. Det var basert på den velkjente Cauchy teorem.

Truet hvis Riemann hypotese er grunnlaget for moderne kryptografi

Datakryptering dukket opp med utseendet på tegn, eller rettere sagt, kan de selv bli sett på som den første koden. For øyeblikket er det en helt ny trend av digital kryptografi, som er engasjert i utvikling av krypteringsalgoritmer.

Enkelt og "Semisimple" nummer m. E. De som bare er delt inn i to andre tall i samme klasse, er grunnlaget for en offentlig nøkkel system, kjent som RSA. Den har et bredt program. Spesielt er det brukt i produksjon av en elektronisk signatur. Hvis vi snakker i forhold til tilgjengelig "tekanne", hevder Riemann hypotesen om eksistensen av systemet i fordelingen av primtall. Dermed reduseres betydelig motstand av kryptografiske nøkler, som avhenger sikkerheten for elektroniske transaksjoner i e-handel.

Andre uløste matematiske problemer

Hele artikkelen er verdt å vie noen ord til andre oppgaver av årtusenet. Disse inkluderer:

• Likestilling av klasser P og NP. Problemet er formulert slik: Hvis et positivt svar på et gitt spørsmål er bekreftet i polynomisk tid, så er det sant at han selv svaret på dette spørsmålet kan bli funnet raskt?
• Hodge gjetninger. Enkelt sagt kan det fastslås som følger: for noen typer projektive algebraiske manifolder (mellomrom) Hodge sykluser er kombinasjoner av objekter som har en geometrisk tolkning, dvs. algebraiske sykluser ...
• Poincaré formodning. Det er den eneste bevist i øyeblikket årtusen problemer. I henhold til den hvilken som helst tredimensjonal gjenstand som har spesifikke egenskaper for den 3-dimensjonale sfære, må den være nøyaktig sfære til deformasjon.
• Godkjenning av quantum Yang - Mills teori. Vi trenger å bevise at quantum teori, fremsatt av disse forskere til den plass ^R4, er det en 0-masse feil for noen enkel kalibrering av en kompakt gruppe G.
• Hypotesen om Birch - Swinnerton-Dyer. Dette er et annet problem som er relevant for kryptografi. Det dreier seg om de elliptiske kurver.
• Problemet med eksistensen og glatthet av løsninger av Navier - Stokes ligninger.

Nå vet du Riemann hypotesen. Enkelt sagt, har vi formulert og noen av de andre målene for årtusen. Det faktum at de vil bli løst, eller det er bevist at de ikke har noen løsning - det er et spørsmål om tid. Og dette er usannsynlig å måtte vente for lenge, som matematikk i økende grad bruker regnekraften i datamaskiner. Men det er ikke alt lagt kunst og til å løse vitenskapelige problemer først og fremst krever intuisjon og kreativitet.