Baserer matematisk analyse. Hvordan finne den deriverte?

Deriverte av en funksjon f (x) ved et spesifikt punkt x0 funksjon kalles vekst forholdet grense for økning av argumentet, forutsatt at X skal være 0, og den grense eksisterer. Derivat generelt betegnet slag, noen ganger via punkt eller via en differensial. Ofte er den deriverte av grense misvisende resultater, ettersom en slik representasjon er sjelden brukt.

-Funksjon som er den deriverte i et bestemt punkt x0, kalt differentiable på et slikt punkt. Anta, D1 - en flerhet av punkter ved hvilke funksjonen f blir differensiert. Å tilordne til hver et av tallene x, som tilhører D f '(x), får vi funksjonen betegnelse området D1. Denne funksjonen er avledet fra y = f (x). Er utpekt som: f '(x).

Videre derivatet som vanligvis brukes i fysikk og ingeniørfag. Betrakt et enkelt eksempel. De vesentlige punkt beveger seg på en koordinatakse spørsmål om hva loven i bevegelse, det vil si, x-koordinaten til dette punktet er kjent x (t) -funksjonen. I løpet av tidsintervallet fra t0 til t0 + t er lik forskyvningen av punktet x (t0 + t) -x (t0) = x, og dens gjennomsnittlige hastigheten v (t) som er lik x / t.

Noen ganger er arten av den bevegelse presentert slik at den gjennomsnittlige hastigheten ikke endres ved små tidsintervaller, noe som betyr at bevegelse med en større grad av nøyaktighet er ansett for å være ensartet. Alternativt kan verdien av gjennomsnittshastigheten om t0 følger til en viss absolutt nøyaktig verdi, og blir referert til som den øyeblikkelige hastigheten v (t0) som peker på et bestemt tidspunkt t0. Det antas at den momentane hastigheten v (t) er kjent for en hvilken som helst differensiert funksjon x (t), ved hvilken v (t) er lik x '(t). Enkelt sagt, hastigheten - det er et derivat av koordinatene tid.

Momentan hastighet har både positive og negative verdier, og verdien er 0. Hvis det er på et visst tidsintervall (t1, t2) er positiv, da punktet beveger seg i samme retning, dvs. x (t) koordinere øker med tiden, og hvis v (t) er negativ, så den koordinat x (t) avtar.

I mer kompliserte tilfeller, beveger punktet i planet eller i rommet. Da hastigheten av - en vektorstørrelse, og bestemmer hver av koordinatene til en vektor v (t).

På samme måte kan man sammenligne akselerasjonen av punktet. Speed er en funksjon av tiden, dvs. v = v (t). Et derivat av en slik funksjon - bevegelse akselerasjonen a = v '(t). Det er, viser det seg at den tidsderiverte av hastighet er akselerasjon.

Anta at y = f (x) - ethvert differensiert funksjon. Da kan vi vurdere bevegelse av et punkt på koordinat aksen, som finner sted for loven x = f (t). Mekanisk vedlikehold av den deriverte gir muligheten til å gi en klar forståelse av teoremer av differensialregning.

Hvordan finne den deriverte? Å finne den deriverte av en funksjon kalles dens differensiering.

Plasser eksempler på hvordan du finner den deriverte av funksjonen:

Den deriverte av en konstant funksjon er lik null; deriverte av funksjonen y = x er lik enheten.

Og hvordan du finner den deriverte av fraksjonen? For å gjøre dette, bør du vurdere følgende materiale:

For noen x0 <> 0 har vi

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Det er noen regler, hvordan finne den deriverte. nemlig:

Hvis funksjonene A og B er differensiert punkt x0, da deres sum er differensiert i et punkt (A + B) '= A' + B'. Enkelt sagt, den deriverte av en sum som er lik summen av derivatene. Hvis funksjonen er differensiert på et tidspunkt, da det må inkrementere til null når følge argumentet til null gevinst.

Hvis funksjonene A og B er differensiert punkt x0, da deres produkt er differensiert ved: (A * B) '= A'B + AB'. (Verdier funksjoner og deres derivater er beregnet på det punkt x0). Hvis funksjonen A (x) blir differensiert i punkt x0, og C - konstant, CA funksjon skal skilles på dette punkt, og (CA) '= CA'. Det vil si, en konstant faktor tatt utenfor fortegnet av derivatet.

Hvis funksjonene A og B er differensiert punkt x0, og funksjonen b ikke er lik null, så deres innbyrdes forhold også differensieres ved: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.