Det er tangent til sirkelen? Egenskapene til tangenten til sirkelen. Den felles tangent til de to sirklene

Sekanser, tangenter - alt dette hundrevis av ganger kunne høres på geometri leksjoner. Men spørsmålet om skolen bak, passerer året, og all denne kunnskapen glemt. Hva bør jeg huske?

essensen

Begrepet "tangent til sirkelen" -tegnet, kanskje, alt. Men det er lite sannsynlig at alle vil raskt formulere en definisjon. I mellomtiden ringte en tangentlinje som ligger i samme plan som sirkel som skjærer det bare ett poeng. Deres myriade kan eksistere, men de har alle de samme egenskapene, som vil bli diskutert her. Som du kanskje skjønner, kontaktpunktet henvist til stedet der sirkelen og linjen krysser hverandre. I hvert tilfelle er det en, hvis det er mer, så vil det være tverrgående.

Historien om oppdagelsen og studiet

Konseptet med en tangent dukket opp i antikken. Byggingen av disse linjene i den første sirkelen, og deretter til ellipser, parabler og hyperbler med en linjal og kompass holdt fortsatt i de tidlige stadier av utviklingen av geometri. Selvfølgelig, har historien ikke bevart navnet oppdageren, men det er klart at selv på den tiden folk var godt kjent egenskapene tangent til sirkelen.

I moderne tid interessen for dette fenomenet brøt ut igjen - begynte en ny runde med studiet av dette konseptet i forbindelse med åpningen av nye kurver. Således Galileo innført begrepet cycloid og Fermat og Descartes bygget en tangent til den. Som for sirkler, synes det er for de gamle hemmeligheter igjen i dette området.

egenskaper

Radius trukket til skjæringspunktet vil være vinkelrett på linjen. dette Hoved, men ikke den eneste eiendommen som er tangent til sirkelen. En annen viktig funksjon inneholder allerede to rett. Så, gjennom et enkelt punkt, som ligger utenfor sirkelen, er det mulig å trekke to tangenter, og deres lengder er like. Det er en annen teorem om dette temaet, men det er sjelden holdes innenfor rammen av standard skolen selvfølgelig, men det er svært nyttig for å løse visse problemer. Det går som følger. Fra et punkt som ligger utenfor sirkelen, tegne en tangent og sekant til den. Dannet segmentene AB, AC og AD. A - skjæringspunktet mellom linjene, B tangentpunktet, C og D - krysset. I dette tilfellet er følgende ligning gyldig: lengden på tangenten til sirkelen, kvadrat, er lik produktet av segmentene AC og AD.

Fra det foregående, er det en viktig konsekvens. For hvert punkt på sirkelen, kan du bygge en tangent, men bare én. Beviset for dette er ganske enkel: i teorien ned til det vinkelrett fra radius, finner vi ut at dannet en trekant ikke kan eksistere. Og dette betyr at tangenten - den eneste.

bygning

Blant andre oppgaver i geometri er en spesiell kategori, som regel, ikke er elsket av elever og studenter. For å løse oppgavene i denne kategorien trenger bare et kompass og en linjal. Det er oppgaven med å bygge. Det de bygger på en tangent.

Så, gitt en sirkel og et punkt som ligger utenfor dets grenser. Og du må navigere gjennom dem tangent. Hvordan du gjør det ikke? Først av alt, må du bruke intervallet mellom sentrum av sirkelen O og settpunkt. Så, med hjelp av et kompass bør dele den i to. For å gjøre dette, må du angi radius - litt mer enn halvparten av avstanden mellom sentrum av sirkelen og det opprinnelige punktet. Da må du bygge to kryssende buer. Radiusen på endringen bør ikke være kompasset, og på midten av hver side av kretsen finner det opprinnelige punktet, og O, henholdsvis. Steder buer kryss må koble den delen halvert. Spør på kompasset radius lik avstanden. Videre, med sentrum i skjæringspunktet å bygge en annen sirkel. Det vil være basert på både det opprinnelige punktet, og O. I dette tilfellet vil det være to kryss med dette problemet i en sirkel. At de vil være kontaktpunkter for opprinnelig angitt punkt.

interessant

Det er å bygge en tangent til sirkelen førte til fødselen differensialregning. Den første arbeidet med dette temaet ble publisert av den berømte tyske matematikeren Leibniz. Det ga for muligheten av å finne maksimum, minimum og tangenter, uavhengig av brøk og irrasjonelle mengder. Vel, nå er det brukt i mange andre beregninger.

Videre tangenten til sirkelen forbundet med den geometriske tangent forstand. Det er fra dette, og navnet kommer. Oversatt fra det latinske Tangens - "tangent". Således er dette konseptet ikke bare en geometri og differensialregning, men med trigonometri.

to sirkler

Ikke alltid tangent zatragivet bare en figur. Hvis du kan bruke svært mange linjer til en sirkel, så hvorfor ikke vice versa? Mulig. Det er bare problemet i denne saken er alvorlig komplisert, fordi tangenten til de to sirklene ikke kan passere gjennom et punkt, og den relative plasseringen av alle disse tallene kan være svært annerledes.

Typer og varianter

Når det gjelder de to sirklene og én eller flere linjer, så selv om du vet at det handler om, er ikke umiddelbart klart hvordan alle disse brikkene er ordnet i forhold til hverandre. På denne bakgrunn er det flere varianter. Så kan sirkelen har en eller to felles punkter, eller ingen i det hele tatt. I det første tilfellet, vil de overlapper hverandre, og den andre - å røre. Og her er to varianter. Hvis en sirkel, som det ble innebygd i andre, er berørings kalles internt hvis ikke - så utsiden. Forstå den relative stilling av stykkene kan ikke bare være basert på tegningen, men som har informasjon om summen av deres radier, og avstanden mellom deres sentre. Hvis disse to verdier er like, så sirklene berører. Hvis det første mer - skjærer og ellers - har ingen felles punkter.

Så det er med rette linjer. For noen to sirkler som ikke har noen felles punkter kan være
bygge fire tangenter. To av dem vil overlappe mellom tallene, de kalles internt. Et par andre - ekstern.

Hvis vi snakker om sirkler, som har ett poeng til felles, problemet seriøst forenklet. Faktum er at i en hvilken som helst innbyrdes anordning, i dette tilfellet tangent de vil ha bare en. Og det vil passere gjennom skjæringspunktet. Slik at bygningen ikke kan skape problemer.

Dersom tallene er to krysningspunkt, så de kan bygges linje tangent til sirkelen som den ene og den andre, men bare utvendig. Løsningen på dette problemet er lik det som er diskutert senere.

Møte utfordringene

Både indre og ytre tangent til de to sirklene i bygningen er ikke så enkel, selv om, og dette problemet er løst. Det faktum at hjelpe mønsteret blir brukt til dette, så fant ut en slik fremgangsmåte alene Det er ganske problematisk. Så, gitt to sirkler med forskjellige radier og sentre O1 og O2. For dem, behovet for å bygge to par tangenter.

Først av alt, om midten av større sirkel for å bygge støttende. På samme tid på kompasset må stilles differansen mellom radiene av de to opprinnelige tall. Fra sentrum av den mindre sirkel som tangerer hjelpe konstruert. Etter det av O1 og O2 holdes perependikulyary disse direkte til skjæringspunktet med de opprinnelige tall. Som det fremgår av de grunnleggende egenskapene til den tangent, blir de nødvendige punkter finnes på begge sirkler. Problemet er løst, i hvert fall i sitt første del.

For å bygge interne tangenter må løse nesten et lignende problem. Igjen, trenger vi et hjelpe figur, men denne gangen sin radius er lik summen av den opprinnelige. Til hennes konstruere tangent fra sentrum av en av disse sirklene. Det videre forløp av beslutningen kan forstås fra det foregående eksempel.

Tangenten til sirkelen, eller to eller flere - er ikke en vanskelig oppgave. Selvfølgelig matematikere har lenge opphørt å løse lignende problemer manuelt og stole beregne spesielle programmer. Men tror ikke at det er nå ikke nødvendigvis være i stand til å gjøre det selv, fordi for en korrekt formulering av oppgaven til datamaskinen for å gjøre mye og forstår. Dessverre er det frykt for at etter den endelige overgangen til testen form for kunnskap kontroll problemer på byggingen vil føre til at studentene mer og mer problemer.

Som for å finne de vanlige tangentene til flere sirkler, er det ikke alltid mulig, selv om de ligger i samme plan. Men i noen tilfeller er det mulig å finne en slik linje.

lige eksempler

Den felles tangent til de to sirklene er ofte funnet i praksis, men det er ikke alltid klart. Transportører, modulære systemer, drivreimer trinser, stramming av tråden i en symaskin, men med bare en sykkel kjede - alle eksempler på liv. Så tror ikke det geometriske problemer forbli bare i teorien: i ingeniørfag, fysikk, konstruksjon og mange andre områder er i praktisk bruk.