Russells paradoks: grunnleggende informasjon, eksempler, formulerings

Russell paradoks er to gjensidig avhengige logisk antinomy.

To former for Russells paradoks

Den mest hyppig diskutert form av en motsigelse i logikk-sett. Noen av settet synes å være medlemmene selv og andre - nei. Settet av alle settene er i seg selv et sett, så det virker som det refererer til seg selv. Null eller tom, men bør ikke være medlem av seg selv. Derfor er det sett av alle settene, som null ikke inkludert i seg selv. Paradokset oppstår når spørsmålet om det sett av et medlem av seg selv. Dette er mulig hvis og bare hvis det ikke er.

En annen form paradoks er en selvmotsigelse angående egenskaper. Noen egenskaper, synes å referere til seg selv, mens andre ikke er det. Eiendommen skal være eiendommen selv er en eiendom, mens eiendommen være seg en katt er det ikke. Vurdere eiendommen for å ha en eiendom som ikke tilhører ham. om det gjelder for seg selv? Igjen, bør noen av forutsetningene være motsatt. Paradokset ble oppkalt til ære for Bertrand Russell (1872-1970), som oppdaget den i 1901.

historien

Åpning Russell skjedde under hans arbeid med "Principles of Mathematics". Selv om han oppdaget paradokset uavhengig, er det bevis for at andre matematikere og utviklere av mengdelære, inkludert Ernst Zermelo og David Hilbert, var klar over den første versjonen av motsetninger før ham. Russell, var imidlertid den første som diskutert i detalj paradokset i hans publiserte arbeider, først prøvde å formulere løsninger og den første til å få fullt utbytte av sin betydning. En helt kapittel av "prinsipper" ble viet til diskusjon om dette problemet, og søknaden ble viet til teorien om typer, som Russell foreslått som en løsning.

Russell oppdaget "paradoks av løgner', vurderer Cantor sett teori som sier at strømmen av et sett er mindre enn innstilt av sine undergrupper. I det minste i domenet skal være like mange undergrupper som det er elementer i det, hvis en undergruppe av hvert element stilt som kun inneholder dette element. Videre Cantor viste at antall elementer som ikke kan være lik antallet av undergrupper. Hvis det var det samme tallet, måtte det eksistere ƒ funksjon som vil vise elementene på deres undergrupper. Samtidig kan det bevises at dette er umulig. Noen elementer kan vises på funksjons ƒ undergrupper som inneholder dem, mens andre kanskje ikke.

Tenk undergruppe av elementer som ikke hører til sine bilder, der de viser ƒ. Det er i seg selv en undergruppe av elementer, og derfor, ville ƒ funksjon vise det på et element i det domenet. Problemet er at da oppstår spørsmålet om hvorvidt dette elementet hører til undergruppen til hvilken den viser ƒ. Dette er bare mulig hvis den ikke hører hjemme. Russells paradoks kan ses som et eksempel på det samme resonnement, bare forenklet. Hva er mer - settene eller undergrupper av settet? Det ville synes at det bør være flere sett, som alle undergrupper av settene selv. Men hvis Cantor teorem er sant, så det bør være flere undergrupper. Russell regnes bare vise setter på seg selv og brukt kantoriansky tilnærming med tanke på mengden av alle disse elementene, utenom et sett der de vises. Viser Russell blir sett av alle settene, en ikke.

error Frege

"Paradokset av løgner" hadde en betydelig innflytelse på den historiske utviklingen av teorien om settene. Han viste at begrepet universell sett er svært problematisk. Han spurte også den oppfatningen at for hver definert tilstand eller predikat kan anta eksistensen av et flertall av bare de tingene som tilfredsstiller denne tilstanden. Alternativ paradoks vedrørende egenskapene - en naturlig forlengelse til versjons settene - hevet alvorlig tvil om hvorvidt det er mulig å hevde om målet eksistensen av en egenskap eller en universell tilpasning til hver, avhengig av tilstanden, eller predikat.

Snart motsetninger og problemer i arbeidet med Logicians ble funnet, filosofer og matematikere som har gjort tilsvarende forutsetninger. I 1902 fant Russell som en variant av paradokset kan uttrykkes i et logisk system, utviklet i bind I av Gottlob Frege er "Foundations of aritmetikk", en av de viktigste verk på logikken i slutten av XIX - tidlig XX århundre. På filosofien Frege mange forstås som en "forlengelse" eller "value-range" -konseptet. Konseptene er det som ligger nærmest de av korrelater. De forventes å eksistere for en gitt tilstand eller predikat. Det er således et konsept for et sett, som ikke faller inn under dets definerende konsept. Det er også en klasse definert av dette konseptet, og den kan definere sitt konsept bare hvis det ikke er.

Russell skrev til Frege om denne konflikten i juni 1902 Korrespondanse har blitt en av de mest spennende og snakket om i historien om logikk. Frege innregnes umiddelbart de katastrofale konsekvensene av paradoks. Han bemerket imidlertid at den versjonen av uenighet om egenskapene i hans filosofi ble løst ved å skille mellom begrepene nivåer.

Frege begrep forstås som overgangen fra argumentene i funksjonen til SANN. Konseptene første nivå tar som argumenter gjenstander av andre nivå konsepter tar som argumenter til disse funksjonene, og så videre. Således kan konseptet aldri ta seg som et argument, og den paradoks i form av egenskaper kan ikke utformes. Ikke desto mindre apparater, utvidelse eller begreper Frege forstås som en henvisning til den samme logiske type som alle andre objekter. Så for hvert sett er det et spørsmål om det faller inn under begrepet definere det.

Når Frege, fikk Russell den første bokstaven, det andre bindet av "Foundations of aritmetikk" er allerede ferdig print. Han ble tvunget til å raskt lage en applikasjon som gir et svar på paradokset i Russell. Eksempler Frege inneholdt et antall mulige løsninger. Men han kom til den konklusjon å svekke begrepet abstraksjon sett i et logisk system.

I den opprinnelige, var det mulig å konkludere med at gjenstanden tilhører settet hvis og bare hvis den faller innenfor konseptet, definerer den. Den reviderte systemet kan bare konkludere med at objektet som tilhører settet hvis og bare hvis den faller innenfor begrepet definerer et flertall, men ikke satt på spørsmålet. Russells paradoks oppstår.

Løsningen er imidlertid ikke helt fornøyd med Frege. Og dette var grunnen. Flere år senere, har mer kompleks form av motsetningen blitt funnet for den reviderte systemet. Men selv før dette skjedde, forlatt Frege sine beslutninger og ser ut til å komme til den konklusjon at hans tilnærming var rett og slett ubrukelig, og at logikken blir nødt til å gjøre uten noen av settene.

Atter andre har foreslått, relativt mer vellykkede alternative løsninger. Disse er omtalt nedenfor.

Teorien om typer

Det ble bemerket ovenfor at Frege var en tilstrekkelig respons på paradokser av settet teori , i den versjonen formulert for egenskaper. Frege reaksjon ble innledet av den mest hyppig diskutert løsning til denne formen for paradoks. Den er basert på det faktum at egenskapene er gjenstand for forskjellige typer og hvilken type bolig er aldri den samme som de elementene som den viser.

Dermed ikke engang oppstår spørsmålet, om eiendommen er gjeldende for seg selv. Logisk språk som skiller de to elementene i et slikt hierarki, ved hjelp av teorien for typene. Selv om det allerede er brukt av Frege, første gang det er fullt forklart og begrunnet Russell i vedlegget til "prinsippet". Teorien om typer var mer komplett enn æren av Frege nivåer. Hun delte egenskaper er ikke bare forskjellige typer logikk, men også stille. skriver teori for å løse motsetningen i paradokset av Russell følger.

For å være en filosofisk tilstrekkelig, vedtakelsen av teorien om typer eiendommer krever utvikling av teorien om naturen av eiendommene slik som kunne forklare hvorfor de ikke kan brukes for seg selv. Ved første øyekast er det fornuftig å predikat sin egen eiendom. Den egenskapen av å være selv-identitet, vil det synes, det er også en selvidentitet. Eiendommen synes å være en fin hyggelig. På samme måte, tilsynelatende, synes det falske å si at egenskapen av å være en katt er en katt.

Likevel ulike tenkere begrunnet fordeling av ulike typer. Russell selv ga forskjellige forklaringer på ulike tidspunkt i karrieren. For sin del, begrunnelsen for separasjon av de ulike begrepene Frege nivåer kommer fra hans teori om umettede konsepter. Begreper som funksjon, i hovedsak, er ufullstendig. Å gi verdi, de trenger et argument. Du kan ikke bare ett konsept til predikat konseptet av samme type, fordi det fortsatt krever sitt argument. For eksempel, selv om det er mulig å ta kvadratroten av kvadratroten av et tall, kan du ikke bare bruke en kvadratroten funksjon med kvadratroten funksjon og få et resultat.

Om konservatisme egenskaper

En annen mulig løsning er paradoks egenskaper negering egenskaper eksistens under gitte betingelser, eller en velformet predikat. Selvfølgelig, hvis noen eschews metafysiske egenskaper av både objektive og uavhengige elementene som helhet, hvis vi tar nominalisme paradoks kan unngås helt.

Men for å løse antinomy trenger ikke være så ekstrem. Logic høyere ordens systemer utviklet Frege og Russell, inneholder det som kalles en konseptuell prinsippet, som sier at hvert åpne formler uansett hvor kompleks eksisterer som en del av en eiendom eller konsept for eksempel bare de elementene som samsvarer med formelen. De brukes til attributtene til alle mulige sett av betingelser eller predikater, uansett hvor kompleks de var.

Likevel var det mulig å ta et mer kritisk metafysikk egenskaper, som gir rett til objektiv eksistens av enkle egenskaper, inkludert, for eksempel, for eksempel rød farge, fasthet, vennlighet og så videre. D. Du kan også la disse egenskapene gjelder for seg selv, for eksempel godhet kan være snill.

Og den samme status for komplekse attributter kan nektes, for eksempel omfatter slike "egenskaper" som har sytten-hoder, bli skrevet under-vann og lignende. D. I dette tilfellet er ikke forutbestemt betingelse ikke oppfyller den egenskap, forstått som separat eksisterende element, som har sine egne egenskaper. Således kan man nekte eksistensen av enkle egenskaper være-eiendom-som-ikke-brukt-til-selv og unngå paradoks ved å bruke mer konservative metafysiske egenskaper.

Russells paradoks: løsningen

Ovenfor ble det bemerket at på slutten av sitt liv Frege helt forlatt logikk sett. Dette er selvfølgelig en løsning på antinomy i form av settene: en enkel sperring av eksistensen av slike elementer som en helhet. I tillegg finnes det andre populære valg, det grunnleggende som er vist nedenfor.

Teorien for mange typer

Som nevnt tidligere, Russell spilte for en mer komplett teori om typer, som vil dele ikke bare de egenskapene eller konsepter til forskjellige typer, men også stille. Russell delt satt på en flerhet av separate enheter, et antall sett av individuelle objekter, etc. Settene av objektene ble ikke vurdert, og et flertall sett - .. sett. Mange aldri likt typen, kan du ha som medlem av seg selv. Derfor er det ikke sett alle sett som ikke er medlemmer av sin egen, fordi for et sett med spørsmål om hvorvidt det er som medlem, er i seg selv et brudd type. Igjen er problemet her å forklare metafysikk sett for å forklare de filosofiske grunnlaget for inndeling i typer.

lagdeling

I 1937 har V. V. Kuayn tilbudt en alternativ løsning, på en måte som ligner på teorien om typer. Grunnleggende informasjon om det er.

Skille element sett og andre. Laget slik at forutsetningen for å finne et flertall alltid er feil eller meningsløst. Sett kan kun gis ved definering av deres forhold er ikke et brudd type. Således, for Quine, "er x ikke er et medlem av x" uttrykket er det meningsfulle utsagn innebærer ikke eksistensen av settet av alle elementer x som tilfredsstiller denne betingelse.

I dette systemet finnes et sett av en eller annen åpen formel A hvis og bare hvis den er stratifisert, t. E. Dersom variablene er tilordnet positive heltall slik at det for hver karakteristisk forekomst av en flerhet av foregående det variable er tildelt oppdrag enhet er mindre enn den variable, følgende etter ham. Dette blokkerer Russells paradoks, siden formelen som brukes for å fastslå problemet sett, det er det samme før og etter den variable medlemskap skiltet slik at det stratifisert.

Men det har ennå ikke fastslå om det resulterende systemet, som Quine kalt "New Foundations av matematisk logikk" konsekvent.

Avslag

En helt annen tilnærming er tatt i teorien om Zermelo - Fraenkel (ZF). Også her satt en grense på eksistensen av settene. I stedet nærmer "top-down" av Russell og Frege, som først tenkte at for alle begreper, egenskaper eller tilstander kan tyde på eksistensen av settet av alle ting med denne egenskapen eller å møte en slik tilstand, i ZF-teorien, alt starter "fra bunnen opp."

Enkelte elementer i den tomme settet og danne et sett. Derfor, i motsetning til tidligere systemer og Russell Frege FIT ikke tilhører den universelt sett som inneholder alle elementene og til og med alle settene. ZF setter strenge begrensninger på eksistensen av settene. Kanskje bare er de for hvilke det er klart postulert eller som kan være formulert ved hjelp av iterative prosesser og lignende. D.

Så, i stedet for begrepet abstraksjon naive sett som fastslår at et spesielt element er inkludert i settet hvis og bare hvis den oppfyller betingelsene i separasjonsprinsippet anvendes DF, separasjon eller "sortering". I stedet for å anta at det foreligger settet av alle elementer som er uten unntak tilfredsstiller en bestemt betingelse, for hvert eksisterende sett Aussonderung indikerer eksistensen av et delsett av alle elementer i den opprinnelige settet som tilfredsstiller betingelsen.

Så kommer abstraksjon prinsipp: Hvis settet A eksisterer, da, for alle x i A, tilhører x til undergruppe A, som tilfredsstiller betingelsen hvis og bare hvis x tilfredsstiller betingelsen C. Denne tilnærmingen løser paradokset Russell, siden vi kan ikke bare anta det vil si mengden av alle apparater som ikke er medlemmer av seg selv.

Å ha mange sett, kan du velge eller dele det opp i sett, som er i seg selv, og de som ikke er slik, men siden det ikke er universelt sett vi ikke er bundet sett alle settene. Uten forutsatt problemet setter Russell motsigelse kan ikke bevises.

andre løsninger

I tillegg har det vært senere utvidelser eller modifikasjoner av disse løsningene, for eksempel en gaffel-type teori om "Principles of Mathematics" system ekspansjons "matematisk logikk" Quine, samt nyere utviklingen i teorien sett, gjort Bernays, Gödel og von Neumann. Spørsmålet om hvorvidt responsen til den uoppløselige paradoks Bertrand Russell funnet, er fortsatt omdiskutert.